Subgroups — #29836833

Order 15616.

654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21458166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	D₈×D₂₄₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21448044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21448001	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21447906	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21447855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#21447732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#14519718	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21447638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#357×D₆₁	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₆₁×#2224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×D₈×D₆₁	C₂²	1	2	yes	—
13	#16840415	—	2	1	no	—
14	D₄×D₂₄₄	—	2	1	no	—
15	C₂×D₉₇₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#14519718	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₁₆×D₆₁	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#16840139	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16840077	—	2	2	no	—
20	#16840039	—	2	1	no	—
21	#16839999	C₂²	1	2	yes	—
22	#16839999	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#16839957	—	2	1	no	—
24	#16839897	—	2	2	no	—
25	C₄×D₄₈₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₈×D₂₄₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#107×D₆₁	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16839587	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#16839564	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#16839563	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16839562	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16839562	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#16839562	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#16839541	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₄×#11758185	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₆₁×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₄×D₈×C₆₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₆₁×#366	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₆₁×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₆₁×#357	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#11758226	—	4	1	no	—
42	C₂²×D₂₄₄	—	4	1	no	—
43	C₂×D₄×D₆₁	—	2	2	no	—
44	C₂×D₄₈₈	—	2	1	no	—
45	C₂×D₄₈₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×D₄₈₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#11758199	—	2	2	no	—
48	D₈×D₆₁	—	2	4	no	—
49	D₈×D₆₁	—	4	2	no	—
50	C₂×C₈×D₆₁	C₂³	1	2	yes	—
51	#14519774	—	2	1	no	—
52	#14519762	—	4	2	no	—
53	#14519753	—	4	1	no	—
54	#14519752	—	2	2	no	—
55	#14519752	—	2	2	no	—
56	#14519751	—	4	1	no	—
57	#14519747	—	4	2	no	—
58	C₄×D₂₄₄	—	2	1	no	—
59	C₄×D₂₄₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊C₄×D₆₁	—	2	2	no	—
61	D₉₇₆	—	4	2	no	—
62	#14519718	—	2	2	no	—
63	C₂×#11758185	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#11758185	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₁₆×D₆₁	—	4	2	no	—
66	#14519711	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#14519710	—	2	2	no	—
68	C₄⋊#92418	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#14519699	—	2	1	no	—
70	#14519697	—	2	2	no	—
71	#14519697	—	2	2	no	—
72	#14519689	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×D₈×C₆₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊Q₈×C₆₁	—	2	1	no	—
75	C₄×D₄×C₆₁	—	2	1	no	—
76	C₂×C₁₆×C₆₁	C₂³	1	2	yes	—
77	#107×C₆₁	—	2	1	no	—
78	#107×C₆₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#107×C₆₁	C₂³	1	2	yes	—
80	#102×C₆₁	—	2	1	no	—
81	C₄×C₈×C₆₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×D₆₁	—	4	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₆₁	—	4	1	no	—
84	C₂×D₄×C₆₁	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄×C₆₁	—	4	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊D₆₁	—	4	2	no	—
87	#11758226	—	8	4	no	—
88	D₄×D₆₁	—	4	4	no	—
89	D₄×D₆₁	—	8	2	no	—
90	C₂×D₂₄₄	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₄₄	—	2	1	no	—
92	C₂×D₂₄₄	—	4	2	no	—
93	C₂×D₂₄₄	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₄₄	—	4	1	no	—
95	C₂×D₂₄₄	—	4	1	no	—
96	C₂×D₂₄₄	—	8	4	no	—
97	C₂×D₂₄₄	D₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×D₆₁	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×D₆₁	—	4	1	no	—
100	C₂×C₄×D₆₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	D₈×C₆₁	—	2	1	no	—
102	D₈×C₆₁	#41	1	2	yes	complemented
103	C₂×C₈×C₆₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₆₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₄×C₆₁	—	2	1	no	—
106	C₄⋊C₄×C₆₁	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₆₁	—	4	1	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₆₁	—	4	1	no	—
109	C₄²×C₆₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	#11758199	—	4	4	no	—
111	#11758198	—	4	1	no	—
112	#11758198	—	4	2	no	—
113	#11758198	—	4	2	no	—
114	#11758198	D₈	1	2	yes	—
115	C₄⋊Dic₆₁	—	2	1	no	—
116	C₄⋊Dic₆₁	D₈	1	1	yes	characteristic
117	#11758196	—	4	2	no	—
118	C₂×#92418	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	D₄₈₈	—	2	1	no	—
120	D₄₈₈	—	2	2	no	—
121	D₄₈₈	—	2	1	no	—
122	D₄₈₈	—	2	2	no	—
123	D₄₈₈	—	8	1	no	—
124	C₈×D₆₁	—	2	2	no	—
125	C₈×D₆₁	—	2	2	no	—
126	C₁₆×C₆₁	—	2	2	no	—
127	#11758185	—	2	1	no	—
128	#11758185	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₆₁	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₆₁	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₆₁	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₆₁	—	8	4	no	—
133	C₂²×D₆₁	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₆₁	—	16	2	no	—
135	C₂²×D₆₁	C₂×D₈	1	2	yes	—
136	Q₈×C₆₁	—	8	2	no	—
137	D₄×C₆₁	—	2	2	no	—
138	D₄×C₆₁	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₆₁	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₆₁	—	4	1	no	—
141	C₂×C₄×C₆₁	—	8	2	no	—
142	C₂×C₄×C₆₁	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₆₁	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₆₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²⋊D₆₁	—	8	4	no	—
146	C₂×Dic₆₁	—	4	1	no	—
147	C₂×Dic₆₁	C₂×D₈	1	2	yes	—
148	D₂₄₄	—	4	2	no	—
149	D₂₄₄	—	4	1	no	—
150	D₂₄₄	—	4	2	no	—
151	D₂₄₄	—	4	1	no	—
152	D₂₄₄	—	8	4	no	—
153	D₂₄₄	—	8	4	no	—
154	D₂₄₄	—	8	2	no	—
155	D₂₄₄	—	16	1	no	—
156	D₂₄₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
157	C₄×D₆₁	—	2	2	no	—
158	C₄×D₆₁	—	2	2	no	—
159	C₄×D₆₁	—	8	4	no	—
160	C₄×D₆₁	—	8	2	no	—
161	C₈×C₆₁	—	2	1	no	—
162	C₈×C₆₁	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₈×C₆₁	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
164	#92418	—	2	2	no	—
165	#33861	—	61	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₆₁	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₆₁	—	8	1	no	—
168	C₂²×C₆₁	—	8	1	no	—
169	C₂²×C₆₁	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×D₆₁	—	2	2	no	—
171	C₂×D₆₁	—	2	2	no	—
172	C₂×D₆₁	—	8	1	no	—
173	C₂×D₆₁	—	8	2	no	—
174	C₂×D₆₁	—	8	2	no	—
175	C₂×D₆₁	—	8	1	no	—
176	C₂×D₆₁	—	8	2	no	—
177	C₂×D₆₁	—	8	1	no	—
178	C₂×D₆₁	—	16	8	no	—
179	C₂×D₆₁	C₂×D₁₆	1	4	yes	—
180	C₄×C₆₁	—	2	1	no	—
181	C₄×C₆₁	—	8	2	no	—
182	C₄×C₆₁	—	8	1	no	—
183	C₄×C₆₁	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
184	C₄×C₆₁	#546	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₆₁	#577	1	1	yes	characteristic
186	Dic₆₁	—	2	2	no	—
187	Dic₆₁	—	8	1	no	—
188	#3334	—	61	1	no	—
189	D₄×D₈	—	61	1	no	—
190	#2240	—	61	1	no	—
191	#2232	—	61	2	no	—
192	#2224	D₆₁	1	1	yes	characteristic, complemented
193	#2215	—	61	2	no	—
194	#2206	—	61	1	no	—
195	#2184	—	61	2	no	—
196	C₄×D₁₆	—	61	1	no	—
197	D₄×C₁₆	—	61	1	no	—
198	C₂×#357	—	61	2	no	—
199	C₂×C₆₁	—	8	2	no	—
200	C₂×C₆₁	#3294	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₆₁	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₆₁	#3416	1	1	yes	characteristic
203	D₆₁	—	2	4	no	—
204	D₆₁	—	16	1	no	—
205	D₆₁	—	16	2	no	—
206	C₂²×D₈	—	61	2	no	—
207	#547	—	122	1	no	—
208	D₄²	—	122	1	no	—
209	C₂×D₁₆	—	61	1	no	—
210	C₂×D₁₆	—	61	2	no	—
211	C₂²×C₁₆	—	61	2	no	—
212	#500	C₂×D₆₁	1	1	yes	characteristic, complemented
213	#493	—	61	1	no	—
214	#480	—	122	2	no	—
215	#474	—	122	1	no	—
216	#466	—	61	2	no	—
217	#466	—	61	2	no	—
218	#459	—	122	1	no	—
219	#447	—	122	2	no	—
220	C₄×D₈	—	61	1	no	—
221	C₄×D₈	C₂×D₆₁	1	1	yes	characteristic
222	C₈×D₄	—	61	1	no	—
223	C₂×#107	—	61	2	no	—
224	#366	—	61	1	no	—
225	#366	C₂×D₆₁	1	2	yes	complemented
226	C₄⋊C₁₆	C₂×D₆₁	1	1	yes	characteristic, complemented
227	#357	—	61	1	no	—
228	#357	—	61	2	no	—
229	#357	—	61	2	no	—
230	#357	—	61	1	no	—
231	#357	—	61	2	no	—
232	#357	C₂×D₆₁	1	2	yes	—
233	C₂²⋊C₁₆	—	61	2	no	—
234	C₄×C₁₆	—	61	1	no	—
235	C₆₁	#33861	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂×#41	—	244	1	no	—
237	C₂²×D₄	—	122	2	no	—
238	C₂²×D₄	—	244	1	no	—
239	C₂×D₈	—	61	2	no	—
240	C₂×D₈	—	61	1	no	—
241	C₂×D₈	—	122	2	no	—
242	C₂×D₈	—	122	4	no	—
243	C₂×D₈	—	122	1	no	—
244	C₂×D₈	—	244	2	no	—
245	C₂×D₈	C₂²×D₆₁	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₈	—	61	2	no	—
247	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
248	#127	—	122	1	no	—
249	#123	—	244	2	no	—
250	C₂²⋊Q₈	—	244	1	no	—
251	#121	—	122	2	no	—
252	#121	—	122	2	no	—
253	#121	—	244	1	no	—
254	#120	—	244	2	no	—
255	C₄×D₄	—	2	1	no	—
256	C₄×D₄	—	61	1	no	—
257	C₄×D₄	—	122	1	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	122	2	no	—
259	D₁₆	—	122	2	no	—
260	D₁₆	—	244	2	no	—
261	C₂×C₁₆	—	61	1	no	—
262	C₂×C₁₆	—	61	1	no	—
263	C₂×C₁₆	—	244	2	no	—
264	C₂×C₁₆	C₂²×D₆₁	1	2	yes	—
265	#107	—	2	1	no	—
266	#107	—	61	1	no	—
267	#107	—	122	2	no	—
268	#107	C₂²×D₆₁	1	2	yes	—
269	#107	C₂²×D₆₁	1	1	yes	characteristic
270	C₄⋊C₈	—	61	1	no	—
271	#102	—	2	1	no	—
272	#102	—	122	2	no	—
273	#102	—	122	2	no	—
274	#102	—	122	1	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	61	2	no	—
276	C₄×C₈	C₂²×D₆₁	1	1	yes	characteristic
277	C₂⁴	—	244	2	no	—
278	#41	—	488	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
280	C₂×D₄	—	2	1	no	—
281	C₂×D₄	—	61	1	no	—
282	C₂×D₄	—	122	1	no	—
283	C₂×D₄	—	122	2	no	—
284	C₂×D₄	—	488	4	no	—
285	C₂×D₄	—	488	2	no	—
286	C₂×D₄	—	244	2	no	—
287	C₂×D₄	—	244	2	no	—
288	C₂×D₄	—	244	2	no	—
289	C₂×D₄	—	244	4	no	—
290	C₂×D₄	—	244	1	no	—
291	C₂×D₄	—	244	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	61	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	244	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	244	1	no	—
296	D₈	—	2	1	no	—
297	D₈	—	122	1	no	—
298	D₈	—	122	2	no	—
299	D₈	—	122	1	no	—
300	D₈	—	122	2	no	—
301	D₈	—	488	1	no	—
302	D₈	—	244	4	no	—
303	D₈	#11758226	1	2	yes	complemented
304	C₂×C₈	—	61	2	no	—
305	C₂×C₈	—	122	2	no	—
306	C₂×C₈	—	122	2	no	—
307	C₂×C₈	D₄×D₆₁	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	C₂³×D₆₁	1	1	yes	characteristic
309	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	61	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	122	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	244	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	61	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	244	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	244	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	244	1	no	—
320	C₄²	D₄×D₆₁	1	1	yes	characteristic
321	C₁₆	—	2	2	no	—
322	C₁₆	—	122	1	no	—
323	C₁₆	—	122	1	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	61	2	no	—
326	C₂³	—	976	2	no	—
327	C₂³	—	488	4	no	—
328	C₂³	—	488	4	no	—
329	C₂³	—	244	1	no	—
330	C₂³	—	244	2	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	D₄	—	2	2	no	—
333	D₄	—	4	1	no	—
334	D₄	—	61	4	no	—
335	D₄	—	976	1	no	—
336	D₄	—	488	4	no	—
337	D₄	—	488	4	no	—
338	D₄	—	488	4	no	—
339	D₄	—	488	2	no	—
340	D₄	—	244	2	no	—
341	D₄	—	244	1	no	—
342	D₄	—	244	2	no	—
343	D₄	—	244	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	61	2	no	—
348	C₂×C₄	—	122	2	no	—
349	C₂×C₄	—	122	2	no	—
350	C₂×C₄	—	488	4	no	—
351	C₂×C₄	—	488	2	no	—
352	C₂×C₄	—	244	1	no	—
353	C₂×C₄	D₈×D₆₁	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	D₈×D₆₁	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₁	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	2	1	no	—
357	C₈	—	122	2	no	—
358	C₈	C₂×#11758226	1	1	yes	characteristic
359	C₈	#14519823	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	8	1	no	—
362	C₂²	—	8	1	no	—
363	C₂²	—	61	4	no	—
364	C₂²	—	122	2	no	—
365	C₂²	—	122	2	no	—
366	C₂²	—	976	8	no	—
367	C₂²	—	488	2	no	—
368	C₂²	—	488	1	no	—
369	C₂²	—	488	2	no	—
370	C₂²	—	488	1	no	—
371	C₂²	—	488	1	no	—
372	C₂²	—	488	2	no	—
373	C₂²	C₂×D₈×D₆₁	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	8	1	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	122	2	no	—
378	C₄	—	488	1	no	—
379	C₄	D₁₆×D₆₁	1	2	yes	—
380	C₄	#16840403	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#16840571	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	—	122	4	no	—
384	C₂	—	976	2	no	—
385	C₂	—	976	1	no	—
386	C₂	#21457629	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×D₁₆×D₆₁	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#21458964	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₆₁
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₆₁	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₆₁
Fitting	C₆₁×#2224	C₂
socle	C₂²×C₆₁	C₂²×D₈
hypercenter	#2224	D₆₁
hypocenter	C₆₁	#33861
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₆₁ ▷ C₄×C₆₁ ▷ C₂×C₆₁ ▷ C₆₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×C₈ ◁ #2224

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21458166	C₂	semidirect
2. D₈×D₂₄₄	C₂	semidirect
3. #21448044	C₂	semidirect
4. #21448001	C₂	semidirect
5. #21447906	C₂	semidirect
6. #21447855	C₂	semidirect
7. #21447732	C₂	semidirect
8. C₄×#14519718	C₂	semidirect
9. #21447638	C₂	semidirect
10. #357×D₆₁	C₂	semidirect
11. C₆₁×#2224	C₂	semidirect
15. C₂×D₉₇₆	C₂²	semidirect
17. C₂×C₁₆×D₆₁	C₂²	semidirect
22. #16839999	C₂²	semidirect
25. C₄×D₄₈₈	C₂²	semidirect
27. #107×D₆₁	C₂²	semidirect
28. #16839587	C₂²	semidirect
29. #16839564	C₂²	semidirect
31. #16839562	C₂²	semidirect
32. #16839562	C₂²	semidirect
33. #16839562	C₂²	semidirect
34. #16839541	C₂²	semidirect
35. C₄×#11758185	C₂²	semidirect
36. C₆₁×#500	C₂²	semidirect
38. C₆₁×#366	C₂²	semidirect
39. C₆₁×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
102. D₈×C₆₁	#41	semidirect
156. D₂₄₄	D₁₆	semidirect
192. #2224	D₆₁	semidirect
212. #500	C₂×D₆₁	semidirect
225. #366	C₂×D₆₁	semidirect
226. C₄⋊C₁₆	C₂×D₆₁	semidirect
235. C₆₁	#33861	semidirect
303. D₈	#11758226	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21458166	2
D₈×D₂₄₄	2
#21448044	2
#21448001	2
#21447906	2
#21447855	2
#21447732	2
C₄×#14519718	2
#21447638	2
#357×D₆₁	2
C₆₁×#2224	2
#33861	61