Subgroups — #543×#6923 #30624652

Order 15616.

2602 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21462312	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
2	#21462298	C₂	1	3	yes	maximal
3	C₂²⋊Q₈×#6923	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₂²⋊C₄×#6923	C₂	1	3	yes	maximal
5	#543×D₆₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂⁴×#6923	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×Q₈×#6923	C₂²	1	4	yes	complemented
8	C₂²×C₂²⋊#6923	C₂²	1	3	yes	—
9	C₂²×C₄×#6923	C₂²	1	6	yes	—
10	(C₂×#6923)⋊Q₈	C₂²	1	12	yes	complemented
11	#16840713	C₂²	1	12	yes	complemented
12	#16840711	C₂²	1	24	yes	complemented
13	#16840709	C₂²	1	24	yes	—
14	#16840704	C₂²	1	12	yes	—
15	C₄⋊C₄×#6923	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂²⋊C₄×#6923	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂²⋊C₄×#6923	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂×(C₂×#6923)⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
19	#16840388	C₄	1	3	yes	complemented
20	#16840387	C₄	1	12	yes	complemented
21	C₂²⋊Q₈×D₆₁	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₁	C₂²	1	3	yes	—
23	C₆₁×#543	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂³×#6923	—	4	4	no	—
25	C₂³×#6923	Q₈	1	8	yes	complemented
26	C₂³×#6923	C₂³	1	3	yes	—
27	C₂³×#6923	C₂³	1	6	yes	—
28	C₂³×#6923	C₂³	1	3	yes	—
29	Q₈×#6923	—	4	8	no	—
30	C₂×C₄⋊#6923	C₂³	1	12	yes	—
31	C₂×C₄⋊#6923	C₂³	1	12	yes	—
32	C₂×C₂²⋊#6923	—	2	12	no	—
33	C₂×C₂²⋊#6923	C₂³	1	12	yes	—
34	C₂×C₄×#6923	—	4	12	no	—
35	C₂×C₄×#6923	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂×C₄×#6923	C₂³	1	12	yes	—
37	(C₂×#6923)⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
38	(C₂×#6923)⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
39	C₂⁴×D₆₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×Q₈×D₆₁	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄×D₆₁	C₂³	1	6	yes	—
42	#14519757	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
43	#14519756	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
44	#14519755	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
45	#14519754	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
46	#14519753	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
47	C₄⋊C₄×D₆₁	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₆₁	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂×#11758198	C₂×C₄	1	6	yes	—
50	C₂²⋊C₄×D₆₁	C₂×C₄	1	12	yes	—
51	C₂²⋊C₄×D₆₁	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²⋊Q₈×C₆₁	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₁	C₂×C₄	1	3	yes	—
54	C₂⁴×C₆₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×D₆₁	—	4	2	no	—
56	C₂³×D₆₁	—	4	2	no	—
57	C₂³×D₆₁	C₂²×C₄	1	3	yes	—
58	C₂³×D₆₁	C₂×Q₈	1	4	yes	—
59	C₂³×D₆₁	#41	1	4	yes	—
60	C₂³×D₆₁	C₂⁴	1	3	yes	—
61	C₂²×#6923	—	2	12	no	—
62	C₂²×#6923	—	2	12	no	—
63	C₂²×#6923	—	4	16	no	—
64	C₂²×#6923	—	4	6	no	—
65	C₂²×#6923	—	4	6	no	—
66	C₂²×#6923	—	4	6	no	—
67	C₂²×#6923	C₂×Q₈	1	12	yes	—
68	C₂²×#6923	C₂×Q₈	1	12	yes	—
69	C₂²×#6923	C₂⁴	1	12	yes	—
70	C₂²×#6923	C₂⁴	1	3	yes	—
71	C₂²×#6923	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₈×C₆₁	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×C₄×C₆₁	C₂²×C₄	1	6	yes	—
74	C₂²×Dic₆₁	C₂²×C₄	1	6	yes	—
75	Q₈×D₆₁	—	4	4	no	—
76	Q₈×D₆₁	—	4	4	no	—
77	C₂×C₄×D₆₁	—	4	6	no	—
78	C₂×C₄×D₆₁	—	4	6	no	—
79	C₂×C₄×D₆₁	C₂²×C₄	1	12	yes	—
80	C₂×C₄×D₆₁	C₂⁴	1	12	yes	—
81	C₂×Dic₁₂₂	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
82	C₂²⋊#6923	—	2	24	no	—
83	C₄⋊#6923	—	4	12	no	—
84	C₄⋊#6923	—	4	12	no	—
85	C₄×#6923	—	2	24	no	—
86	C₄×#6923	—	4	12	no	—
87	C₄⋊C₄×C₆₁	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
88	C₂²⋊C₄×C₆₁	C₂²×C₄	1	12	yes	—
89	C₂²⋊Dic₆₁	C₂²×C₄	1	12	yes	—
90	#11758198	C₂²×C₄	1	24	yes	—
91	C₄⋊Dic₆₁	C₂²×C₄	1	12	yes	complemented
92	#11758196	C₂²×C₄	1	24	yes	complemented
93	C₂³×C₆₁	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₆₁	C₄×Q₈	1	4	yes	complemented
95	C₂³×C₆₁	C₂³×C₄	1	3	yes	—
96	C₂²×D₆₁	—	2	6	no	—
97	C₂²×D₆₁	—	2	6	no	—
98	C₂²×D₆₁	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₆₁	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₆₁	—	4	8	no	—
101	C₂²×D₆₁	—	4	6	no	—
102	C₂²×D₆₁	C₄×Q₈	1	12	yes	complemented
103	C₂²×D₆₁	C₂³×C₄	1	3	yes	—
104	C₂²×D₆₁	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
105	C₂²×D₆₁	C₂×#41	1	6	yes	—
106	C₂²×D₆₁	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
107	C₂×#6923	—	2	6	no	—
108	C₂×#6923	—	2	24	no	—
109	C₂×#6923	—	2	12	no	—
110	C₂×#6923	—	2	12	no	—
111	C₂×#6923	—	2	12	no	—
112	C₂×#6923	—	4	12	no	—
113	C₂×#6923	—	4	24	no	—
114	C₂×#6923	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
115	C₂×#6923	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×#6923	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
117	Q₈×C₆₁	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄×C₆₁	—	4	6	no	—
119	C₂×C₄×C₆₁	C₂³×C₄	1	12	yes	—
120	C₂×Dic₆₁	—	4	6	no	—
121	C₂×Dic₆₁	C₂³×C₄	1	12	yes	—
122	C₄×D₆₁	—	2	12	no	—
123	C₄×D₆₁	—	2	12	no	—
124	C₄×D₆₁	—	4	12	no	—
125	Dic₁₂₂	—	4	12	no	—
126	C₄×#543	—	61	1	no	maximal, Sylow
127	C₂²×C₆₁	—	2	6	no	—
128	C₂²×C₆₁	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₆₁	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
130	C₂²×C₆₁	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₆₁	—	2	6	no	—
132	C₂×D₆₁	—	2	6	no	—
133	C₂×D₆₁	—	2	6	no	—
134	C₂×D₆₁	—	2	12	no	—
135	C₂×D₆₁	—	4	12	no	—
136	C₂×D₆₁	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
137	C₂×D₆₁	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×D₆₁	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₆₁	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
140	C₂×D₆₁	#585	1	2	yes	—
141	#6923	—	2	6	no	—
142	#6923	—	4	12	no	—
143	#6923	#543	1	4	yes	direct product factor
144	C₄×C₆₁	—	2	12	no	—
145	Dic₆₁	—	2	12	no	—
146	C₂×#543	—	61	1	no	—
147	#2329	—	61	12	no	—
148	#2315	—	61	3	no	—
149	C₄×C₂²⋊Q₈	—	61	12	no	—
150	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	61	3	no	—
151	C₂×C₆₁	—	2	6	no	—
152	C₂×C₆₁	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₆₁	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
154	D₆₁	—	2	6	no	—
155	D₆₁	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
156	D₆₁	#3458	1	1	yes	characteristic
157	D₆₁	#3459	1	2	yes	—
158	C₂⁴×C₄	—	61	1	no	—
159	#543	—	61	12	no	—
160	#543	—	61	3	no	—
161	#543	#6923	1	1	yes	characteristic, direct product factor
162	C₂×C₂²⋊Q₈	—	61	12	no	—
163	C₂×C₄×Q₈	—	61	4	no	—
164	C₂²×C₂²⋊C₄	—	61	3	no	—
165	C₂²×C₂²⋊C₄	—	61	3	no	—
166	C₂²×C₄²	—	61	6	no	—
167	#391	—	61	12	no	—
168	#389	—	61	12	no	—
169	#387	—	61	24	no	—
170	#385	—	61	24	no	—
171	#380	—	61	12	no	—
172	C₄×C₄⋊C₄	—	61	12	no	—
173	C₄×C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
174	C₄×C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
175	C₂×#95	—	61	6	no	—
176	C₆₁	C₄×#543	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
177	C₂⁵	—	61	1	no	—
178	C₂²×Q₈	—	61	4	no	—
179	C₂³×C₄	—	61	3	no	—
180	C₂³×C₄	—	61	8	no	—
181	C₂³×C₄	—	61	3	no	—
182	C₂³×C₄	—	61	6	no	—
183	C₂³×C₄	—	61	6	no	—
184	C₂³×C₄	—	244	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	61	12	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	61	12	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	61	24	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	61	12	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	61	24	no	—
190	C₂²⋊Q₈	C₂×#6923	1	12	yes	complemented
191	C₄×Q₈	—	244	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	61	12	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	61	12	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	61	12	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	61	3	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	61	6	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	122	12	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×#6923	1	3	yes	—
202	C₂×C₄²	—	61	12	no	—
203	C₂×C₄²	—	61	12	no	—
204	C₂×C₄²	—	244	12	no	—
205	#95	—	61	24	no	—
206	#95	—	61	24	no	—
207	C₂⁴	—	61	3	no	—
208	C₂⁴	—	61	4	no	—
209	C₂⁴	—	61	4	no	—
210	C₂⁴	—	61	3	no	—
211	C₂⁴	—	244	2	no	—
212	C₂⁴	—	244	2	no	—
213	C₂⁴	C₂²×#6923	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	61	12	no	—
215	C₂×Q₈	—	244	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	244	4	no	—
217	C₂×Q₈	C₂²×#6923	1	4	yes	complemented
218	C₂²×C₄	—	61	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	61	3	no	—
220	C₂²×C₄	—	61	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	61	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	61	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	61	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	61	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	61	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	122	12	no	—
227	C₂²×C₄	—	122	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	244	6	no	—
229	C₂²×C₄	—	244	6	no	—
230	C₂²×C₄	—	244	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	244	6	no	—
232	C₂²×C₄	—	244	6	no	—
233	C₂²×C₄	—	244	6	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×#6923	1	6	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	61	24	no	—
236	C₄⋊C₄	—	61	12	no	—
237	C₄⋊C₄	—	244	12	no	—
238	C₄⋊C₄	—	244	12	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂²×#6923	1	12	yes	complemented
240	C₂²⋊C₄	—	61	12	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	61	24	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	122	24	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂²×#6923	1	12	yes	—
244	C₄²	—	122	24	no	—
245	C₄²	—	244	12	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	61	1	no	—
248	C₂³	—	61	6	no	—
249	C₂³	—	61	6	no	—
250	C₂³	—	61	3	no	—
251	C₂³	—	61	12	no	—
252	C₂³	—	122	6	no	—
253	C₂³	—	122	6	no	—
254	C₂³	—	244	6	no	—
255	C₂³	—	244	4	no	—
256	C₂³	—	244	8	no	—
257	C₂³	—	244	4	no	—
258	C₂³	Q₈×#6923	1	4	yes	complemented
259	C₂³	C₂³×#6923	1	3	yes	—
260	Q₈	—	4	4	no	—
261	Q₈	—	244	12	no	—
262	C₂×C₄	—	4	6	no	—
263	C₂×C₄	—	61	2	no	—
264	C₂×C₄	—	61	4	no	—
265	C₂×C₄	—	61	6	no	—
266	C₂×C₄	—	61	12	no	—
267	C₂×C₄	—	122	12	no	—
268	C₂×C₄	—	122	12	no	—
269	C₂×C₄	—	122	24	no	—
270	C₂×C₄	—	122	6	no	—
271	C₂×C₄	—	122	12	no	—
272	C₂×C₄	—	122	12	no	—
273	C₂×C₄	—	122	12	no	—
274	C₂×C₄	—	244	12	no	—
275	C₂×C₄	—	244	6	no	—
276	C₂×C₄	—	244	12	no	—
277	C₂×C₄	—	244	24	no	—
278	C₂×C₄	C₂³×#6923	1	12	yes	—
279	C₂²	—	2	6	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	61	1	no	—
282	C₂²	—	61	1	no	—
283	C₂²	—	61	2	no	—
284	C₂²	—	61	2	no	—
285	C₂²	—	61	6	no	—
286	C₂²	—	122	6	no	—
287	C₂²	—	122	12	no	—
288	C₂²	—	122	6	no	—
289	C₂²	—	122	6	no	—
290	C₂²	—	244	12	no	—
291	C₂²	C₂×Q₈×#6923	1	6	yes	—
292	C₂²	C₂⁴×#6923	1	1	yes	characteristic
293	C₄	—	2	12	no	—
294	C₄	—	61	4	no	—
295	C₄	—	122	6	no	—
296	C₄	—	122	12	no	—
297	C₄	—	244	12	no	—
298	C₂	—	2	6	no	—
299	C₂	—	61	1	no	—
300	C₂	—	61	2	no	—
301	C₂	—	61	1	no	—
302	C₂	—	122	6	no	—
303	C₂	C₂²×Q₈×#6923	1	1	yes	characteristic
304	C₂	H(5,𝔽₂)×#6923	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×#6923
commutator, socle	C₂²×C₆₁	C₂⁴×C₄
Fitting	C₆₁×#543	C₄
prime radical	C₂⁴×D₆₁	C₂³
cosocle	C₂²×D₆₁	C₂⁵
hypercenter	#543	#6923
hypocenter	C₆₁	C₄×#543
LCS	G ▷ C₂²×C₆₁ ▷ C₆₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #543

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21462312	C₂	semidirect
3. C₂²⋊Q₈×#6923	C₂	semidirect
7. C₂×Q₈×#6923	C₂²	semidirect
10. (C₂×#6923)⋊Q₈	C₂²	semidirect
11. #16840713	C₂²	semidirect
12. #16840711	C₂²	semidirect
15. C₄⋊C₄×#6923	C₂²	semidirect
19. #16840388	C₄	semidirect
20. #16840387	C₄	semidirect
23. C₆₁×#543	C₄	semidirect
25. C₂³×#6923	Q₈	semidirect
42. #14519757	C₂×C₄	semidirect
43. #14519756	C₂×C₄	semidirect
44. #14519755	C₂×C₄	semidirect
45. #14519754	C₂×C₄	semidirect
46. #14519753	C₂×C₄	semidirect
52. C₂²⋊Q₈×C₆₁	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×Q₈×C₆₁	C₂²×C₄	semidirect
81. C₂×Dic₁₂₂	C₂²×C₄	semidirect
87. C₄⋊C₄×C₆₁	C₂²×C₄	semidirect
91. C₄⋊Dic₆₁	C₂²×C₄	semidirect
92. #11758196	C₂²×C₄	semidirect
94. C₂³×C₆₁	C₄×Q₈	semidirect
102. C₂²×D₆₁	C₄×Q₈	semidirect
143. #6923	#543	direct (N × H)
161. #543	#6923	direct (N × H)
176. C₆₁	C₄×#543	semidirect
190. C₂²⋊Q₈	C₂×#6923	semidirect
217. C₂×Q₈	C₂²×#6923	semidirect
239. C₄⋊C₄	C₂²×#6923	semidirect
258. C₂³	Q₈×#6923	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21462312	2
#21462298	2
C₂²⋊Q₈×#6923	2
C₂×C₂²⋊C₄×#6923	2
#543×D₆₁	2
C₄×#543	61