Subgroups — #30641089

Order 16256.

780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 284 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22549727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²⋊C₄×Dic₁₂₇	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#22549723	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#22549721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₁₂₇⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#95×D₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₄	1	8	yes	complemented
17	(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₁₂₇⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₁₂₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₁₂₇⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₁₂₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₁₂₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂³×C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄²×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
35	#95×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#95×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×D₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×Dic₁₂₇	—	4	2	no	—
41	C₂²×Dic₁₂₇	—	4	2	no	—
42	C₂²×Dic₁₂₇	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
43	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₁₂₇	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄×D₁₂₇	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×D₁₂₇	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×D₁₂₇	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×C₄×D₁₂₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₄×Dic₁₂₇	—	4	2	no	—
59	C₄×Dic₁₂₇	—	4	2	no	—
60	C₄×Dic₁₂₇	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₄×Dic₁₂₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₁₂₇	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₄²×C₁₂₇	—	4	2	no	—
71	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
72	C₂²×D₁₂₇	—	2	1	no	—
73	C₂²×D₁₂₇	—	2	1	no	—
74	C₂²×D₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×D₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²⋊D₁₂₇	C₄²	1	16	yes	complemented
77	C₂×Dic₁₂₇	—	2	1	no	—
78	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
79	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
80	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
82	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
83	C₂×Dic₁₂₇	—	2	1	no	—
84	C₂×Dic₁₂₇	—	4	8	no	—
85	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×Dic₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₄×D₁₂₇	—	4	8	no	—
92	C₄×D₁₂₇	—	4	4	no	—
93	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₁₂₇	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₁₂₇	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₁₂₇	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₁₂₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
115	C₂²×C₁₂₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₁₂₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₁₂₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
118	C₂²×C₁₂₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₁₂₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×D₁₂₇	—	2	4	no	—
121	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
122	C₂×D₁₂₇	—	2	4	no	—
123	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
124	C₂×D₁₂₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
125	C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
126	C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
127	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
128	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
129	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
130	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
131	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
132	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
133	Dic₁₂₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
134	C₂×C₁₂₇	—	2	4	no	—
135	C₂×C₁₂₇	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₁₂₇	#518	1	2	yes	—
137	C₂×C₁₂₇	#518	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₁₂₇	#520	1	2	yes	—
139	C₂×C₁₂₇	#520	1	1	yes	characteristic
140	D₁₂₇	—	2	4	no	—
141	#2275	—	127	1	no	maximal, Sylow
142	C₁₂₇	#2275	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
143	C₂×C₄×D₄	—	127	1	no	—
144	C₂×C₄×D₄	—	127	2	no	—
145	C₄×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
146	C₄×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
147	C₄×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
148	C₄×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
149	C₄×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
150	C₄×C₂²⋊C₄	D₁₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
151	#376	—	127	1	no	—
152	C₂×#95	—	127	1	no	—
153	C₂×#95	—	127	1	no	—
154	C₂²×D₄	—	127	1	no	—
155	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
156	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
157	C₂³×C₄	—	127	1	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
159	C₄×D₄	—	127	8	no	—
160	C₄×D₄	—	127	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	127	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
172	#95	—	127	1	no	—
173	#95	—	127	2	no	—
174	#95	—	127	2	no	—
175	#95	—	127	1	no	—
176	#95	—	127	2	no	—
177	#95	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
178	#95	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
179	C₂⁴	—	127	1	no	—
180	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
181	C₂×D₄	—	127	4	no	—
182	C₂×D₄	—	127	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	127	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	508	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	508	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	508	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	508	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	508	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₁₂₇	1	4	yes	complemented
198	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	C₄×D₁₂₇	1	8	yes	complemented
208	C₄²	—	4	2	no	—
209	C₄²	—	127	4	no	—
210	C₄²	—	127	8	no	—
211	C₄²	—	508	2	no	—
212	C₄²	—	508	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	1	no	—
215	C₂³	—	2	1	no	—
216	C₂³	—	127	4	no	—
217	C₂³	—	127	2	no	—
218	C₂³	—	254	2	no	—
219	C₂³	—	254	1	no	—
220	C₂³	—	254	1	no	—
221	C₂³	C₂×C₄×D₁₂₇	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂×C₄×D₁₂₇	1	4	yes	—
223	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
224	D₄	—	127	16	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂×C₄	—	127	4	no	—
233	C₂×C₄	—	127	2	no	—
234	C₂×C₄	—	127	2	no	—
235	C₂×C₄	—	127	4	no	—
236	C₂×C₄	—	127	4	no	—
237	C₂×C₄	—	127	2	no	—
238	C₂×C₄	—	508	8	no	—
239	C₂×C₄	—	508	4	no	—
240	C₂×C₄	—	508	8	no	—
241	C₂×C₄	—	254	2	no	—
242	C₂×C₄	—	254	2	no	—
243	C₂×C₄	—	254	2	no	—
244	C₂×C₄	—	254	1	no	—
245	C₂×C₄	—	254	2	no	—
246	C₂×C₄	—	254	2	no	—
247	C₂×C₄	—	254	1	no	—
248	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₂₇	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₂₇	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₂₇	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₂₇	1	4	yes	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	2	2	no	—
256	C₂²	—	127	4	no	—
257	C₂²	—	254	4	no	—
258	C₂²	—	254	2	no	—
259	C₂²	—	254	4	no	—
260	C₂²	—	254	2	no	—
261	C₂²	C₄²×D₁₂₇	1	4	yes	—
262	C₂²	C₂²×C₄×D₁₂₇	1	2	yes	—
263	C₂²	C₂²×C₄×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	#16861254	1	2	yes	—
265	C₂²	#16861255	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	#16861256	1	1	yes	characteristic
267	C₄	—	2	4	no	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	4	no	—
271	C₄	—	127	4	no	—
272	C₄	—	254	4	no	—
273	C₄	—	254	4	no	—
274	C₄	—	254	2	no	—
275	C₄	—	254	2	no	—
276	C₂	—	2	4	no	—
277	C₂	—	254	4	no	—
278	C₂	C₂×C₄²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#22550348	1	2	yes	—
280	C₂	#22550349	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#22550355	1	2	yes	—
282	C₂	#22550356	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₂₇
commutator	C₂×C₁₂₇	C₂²×C₄²
Fitting	C₄×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₄	D₁₂₇
hypocenter	C₁₂₇	#2275
LCS	G ▷ C₂×C₁₂₇ ▷ C₁₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₄×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂	semidirect
4. #22549727	C₂	semidirect
5. C₂²⋊C₄×Dic₁₂₇	C₂	semidirect
6. C₄×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂	semidirect
7. #22549723	C₂	semidirect
8. #22549721	C₂	semidirect
9. C₂×C₁₂₇⋊#95	C₂	semidirect
10. #95×D₁₂₇	C₂	semidirect
11. C₄×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂	semidirect
16. C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₄	semidirect
17. (C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	C₄	semidirect
42. C₂²×Dic₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
51. C₂×C₄×D₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
52. C₂×C₄×D₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
53. Dic₁₂₇⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
54. Dic₁₂₇⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
55. C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
56. (C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
57. (C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
60. C₄×Dic₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×Dic₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
64. C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
69. C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂×C₄	semidirect
76. C₂²⋊D₁₂₇	C₄²	semidirect
142. C₁₂₇	#2275	semidirect
150. C₄×C₂²⋊C₄	D₁₂₇	semidirect
197. C₂²×C₄	C₄×D₁₂₇	semidirect
207. C₂²⋊C₄	C₄×D₁₂₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	2
C₂×(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	2
C₄×Dic₁₂₇⋊C₄	2
#22549727	2
C₂²⋊C₄×Dic₁₂₇	2
C₄×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	2
#22549723	2
#22549721	2
C₂×C₁₂₇⋊#95	2
#95×D₁₂₇	2
C₄×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	2
#2275	127