Subgroups — C₂×#22550493 #30652104

Order 16256.

1132 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 296 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22550493	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16861208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16861202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16861196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#16861196	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16861190	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16861188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#16861186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#16861174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×D₄×Dic₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#16861168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#121×C₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂²×Dic₂₅₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×Dic₂₅₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
16	#16861208	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#16861202	C₂²	1	16	yes	complemented
18	#16861196	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#16861196	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#16861190	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#16861188	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#16861186	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#16861174	C₂²	1	8	yes	complemented
24	D₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#16861168	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×D₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#121×C₁₂₇	C₂²	1	8	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×Dic₂₅₄	—	2	4	no	—
48	C₂×Dic₂₅₄	—	4	4	no	—
49	C₂×Dic₂₅₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×Dic₂₅₄	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂²×Dic₁₂₇	—	4	4	no	—
52	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
59	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
60	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
61	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
62	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
64	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
71	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
72	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
73	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×D₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
77	C₂×D₄×C₁₂₇	—	4	4	no	—
78	C₂×D₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×D₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
87	Dic₂₅₄	—	2	8	no	—
88	Dic₂₅₄	—	4	8	no	—
89	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₂₇	—	4	8	no	—
96	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
97	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
99	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	D₄×C₁₂₇	—	2	8	no	—
112	D₄×C₁₂₇	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₁₂₇	#41	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₁₂₇	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₁₂₇	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₁₂₇	C₂×#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₁₂₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
130	C₂²×C₁₂₇	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
131	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
132	C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
133	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
134	C₄×C₁₂₇	C₂×#41	1	4	yes	—
135	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
136	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
137	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
138	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
139	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
140	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
141	C₂×C₁₂₇	—	4	2	no	—
142	C₂×C₁₂₇	—	4	4	no	—
143	C₂×C₁₂₇	#542	1	4	yes	complemented
144	C₂×C₁₂₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₁₂₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₁₂₇	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×#542	—	127	1	no	maximal, Sylow
148	C₁₂₇	C₂×#542	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
149	#542	—	127	16	no	—
150	C₂×C₄⋊Q₈	—	127	1	no	—
151	C₂×#126	—	127	2	no	—
152	C₂×#124	—	127	1	no	—
153	C₂×#124	—	127	2	no	—
154	C₂×#123	—	127	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊Q₈	—	127	1	no	—
156	C₂×C₂²⋊Q₈	—	127	2	no	—
157	C₂×#121	D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×Q₈	—	127	1	no	—
159	C₂×C₄×D₄	—	127	1	no	—
160	C₂×#117	—	127	1	no	—
161	C₂²×Q₈	—	127	2	no	—
162	C₂²×Q₈	—	127	1	no	—
163	C₂²×D₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×D₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
166	C₂³×C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
167	C₄⋊Q₈	—	127	8	no	—
168	#126	—	127	16	no	—
169	#124	—	127	8	no	—
170	#124	—	127	16	no	—
171	#123	—	127	16	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	127	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	127	16	no	—
174	#121	C₂×D₁₂₇	1	8	yes	—
175	C₄×Q₈	—	127	8	no	—
176	C₄×D₄	—	127	8	no	—
177	#117	—	127	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	127	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	127	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
195	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
196	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
197	C₂×Q₈	—	127	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	127	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	508	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	254	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	508	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
218	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
224	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
225	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
232	C₄²	—	127	4	no	—
233	C₄²	—	127	4	no	—
234	C₄²	—	127	8	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
243	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
244	Q₈	—	508	8	no	—
245	Q₈	—	254	8	no	—
246	D₄	—	2	8	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	127	2	no	—
252	C₂×C₄	—	127	2	no	—
253	C₂×C₄	—	127	4	no	—
254	C₂×C₄	—	127	2	no	—
255	C₂×C₄	—	127	2	no	—
256	C₂×C₄	—	127	4	no	—
257	C₂×C₄	—	508	8	no	—
258	C₂×C₄	—	254	4	no	—
259	C₂×C₄	—	254	2	no	—
260	C₂×C₄	—	254	4	no	—
261	C₂×C₄	—	254	2	no	—
262	C₂×C₄	—	254	2	no	—
263	C₂×C₄	—	254	2	no	—
264	C₂×C₄	#14523247	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	C₂×#14523247	1	2	yes	—
277	C₂²	#16861254	1	2	yes	—
278	C₂²	#16861256	1	2	yes	—
279	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	254	4	no	—
283	C₄	—	254	2	no	—
284	C₄	—	254	4	no	—
285	C₄	—	254	2	no	—
286	C₄	—	254	2	no	—
287	C₄	—	254	2	no	—
288	C₄	C₂×#14523247	1	4	yes	—
289	C₂	—	4	2	no	—
290	C₂	—	4	4	no	—
291	C₂	#22550493	1	4	yes	direct product factor
292	C₂	C₂²×#14523247	1	1	yes	characteristic
293	C₂	C₂×#16861254	1	1	yes	characteristic
294	C₂	C₂×#16861256	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₁₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇
Fitting, prime radical	C₂×#121×C₁₂₇	C₂
socle	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#121	D₁₂₇
hypocenter	C₁₂₇	C₂×#542
LCS	G ▷ C₂²×C₁₂₇ ▷ C₁₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#121

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22550493	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16861208	C₂	semidirect
3. C₂×#16861202	C₂	semidirect
4. C₂×#16861196	C₂	semidirect
5. C₂×#16861196	C₂	semidirect
6. C₂×#16861190	C₂	semidirect
7. C₂×#16861188	C₂	semidirect
8. C₂×#16861186	C₂	semidirect
9. C₂×#16861174	C₂	semidirect
10. C₂×D₄×Dic₁₂₇	C₂	semidirect
11. C₂×#16861168	C₂	semidirect
16. #16861208	C₂²	semidirect
17. #16861202	C₂²	semidirect
18. #16861196	C₂²	semidirect
19. #16861196	C₂²	semidirect
20. #16861190	C₂²	semidirect
21. #16861188	C₂²	semidirect
22. #16861186	C₂²	semidirect
23. #16861174	C₂²	semidirect
24. D₄×Dic₁₂₇	C₂²	semidirect
25. #16861168	C₂²	semidirect
143. C₂×C₁₂₇	#542	semidirect
148. C₁₂₇	C₂×#542	semidirect
291. C₂	#22550493	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22550493	2
C₂×#16861208	2
C₂×#16861202	2
C₂×#16861196	2
C₂×#16861190	2
C₂×#16861188	2
C₂×#16861186	2
C₂×#16861174	2
C₂×D₄×Dic₁₂₇	2
C₂×#16861168	2
C₂×#121×C₁₂₇	2
C₂×#542	127

Subgroups — C2×#22550493 #30652104

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22550493 #30652104