Subgroups — C₂×#22550584 #30652262

Order 16256.

1200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22550584	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16861208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16861199	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16861189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16861186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16861185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×Q₈×Dic₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄⋊C₄×D₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×Dic₂₅₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×D₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
18	#16861208	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#16861199	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#16861189	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#16861186	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#16861185	C₂²	1	8	yes	complemented
23	Q₈×Dic₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	8	yes	—
25	(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄⋊C₄×D₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×Q₈×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×D₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×Dic₂₅₄	—	4	4	no	—
49	C₂×Dic₂₅₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	Q₈	1	8	yes	complemented
51	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×Dic₁₂₇	—	4	4	no	—
53	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₁₂₇	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₁₂₇	—	4	4	no	—
61	C₂×C₄×D₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
63	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
64	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
65	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
66	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
67	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
72	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
75	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×Q₈×C₁₂₇	—	2	4	no	—
78	C₂×Q₈×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
86	C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₁₂₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₂²×D₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
92	Dic₂₅₄	—	4	8	no	—
93	C₂²⋊D₁₂₇	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
94	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₂₇	—	4	8	no	—
99	C₂×Dic₁₂₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₄×D₁₂₇	—	2	8	no	—
106	C₄×D₁₂₇	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₁₂₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	Q₈×C₁₂₇	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₁₂₇	#41	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂²×C₁₂₇	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₁₂₇	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂²×C₁₂₇	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂²×C₁₂₇	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₁₂₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
129	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₁₂₇	—	2	8	no	—
131	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
132	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
133	C₂×D₁₂₇	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
134	C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
135	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
136	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
137	C₄×C₁₂₇	C₂×#41	1	4	yes	—
138	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
139	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
140	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
141	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
142	Dic₁₂₇	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₁₂₇	—	2	4	no	—
144	C₂×C₁₂₇	#554	1	4	yes	complemented
145	C₂×C₁₂₇	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₁₂₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₁₂₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
148	D₁₂₇	—	2	4	no	—
149	C₂×#554	—	127	1	no	maximal, Sylow
150	C₁₂₇	C₂×#554	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
151	#554	—	127	16	no	—
152	C₂×C₄⋊Q₈	—	127	1	no	—
153	C₂×#125	—	127	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊Q₈	—	127	1	no	—
155	C₂×C₂²⋊Q₈	—	127	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊Q₈	—	127	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
158	C₂×C₄×Q₈	—	127	1	no	—
159	C₂×C₄×D₄	—	127	1	no	—
160	C₂×C₄×D₄	—	127	2	no	—
161	C₂²×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
162	C₂²×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
163	C₂²×Q₈	—	127	2	no	—
164	C₂²×Q₈	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×D₄	—	127	1	no	—
166	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
167	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
168	C₂³×C₄	—	127	1	no	—
169	C₂³×C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊Q₈	—	127	8	no	—
171	#125	—	127	16	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	127	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	127	16	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	127	16	no	—
175	C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₂₇	1	8	yes	complemented
176	C₄×Q₈	—	127	8	no	—
177	C₄×D₄	—	127	8	no	—
178	C₄×D₄	—	127	16	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	127	1	no	—
197	C₂⁴	—	127	1	no	—
198	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	127	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	508	4	no	—
202	C₂×Q₈	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
203	C₂×D₄	—	127	8	no	—
204	C₂×D₄	—	127	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	127	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	508	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	508	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	254	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
230	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
236	C₄²	—	127	8	no	—
237	C₄²	—	127	4	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	127	4	no	—
241	C₂³	—	127	2	no	—
242	C₂³	—	254	2	no	—
243	C₂³	—	254	2	no	—
244	C₂³	Q₈×D₁₂₇	1	4	yes	—
245	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	8	no	—
248	Q₈	—	508	8	no	—
249	D₄	—	127	16	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	127	4	no	—
255	C₂×C₄	—	127	2	no	—
256	C₂×C₄	—	127	2	no	—
257	C₂×C₄	—	127	4	no	—
258	C₂×C₄	—	127	2	no	—
259	C₂×C₄	—	127	4	no	—
260	C₂×C₄	—	508	8	no	—
261	C₂×C₄	—	508	8	no	—
262	C₂×C₄	—	254	2	no	—
263	C₂×C₄	—	254	4	no	—
264	C₂×C₄	—	254	4	no	—
265	C₂×C₄	—	254	2	no	—
266	C₂×C₄	—	254	8	no	—
267	C₂×C₄	#14523247	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
272	C₂²	—	2	8	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	127	4	no	—
276	C₂²	—	254	8	no	—
277	C₂²	—	254	2	no	—
278	C₂²	—	254	2	no	—
279	C₂²	C₂×Q₈×D₁₂₇	1	4	yes	—
280	C₂²	C₂×Q₈×D₁₂₇	1	2	yes	—
281	C₂²	C₂×#14523247	1	2	yes	—
282	C₂²	#16861255	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	127	4	no	—
288	C₄	—	254	2	no	—
289	C₄	—	254	4	no	—
290	C₄	—	254	4	no	—
291	C₄	—	254	2	no	—
292	C₄	C₂×#14523247	1	4	yes	—
293	C₂	—	2	4	no	—
294	C₂	—	254	4	no	—
295	C₂	#22550584	1	4	yes	direct product factor
296	C₂	C₂²×Q₈×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂²×#14523247	1	1	yes	characteristic
298	C₂	C₂×#16861255	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₁₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇
Fitting	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	C₂
socle	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²
hypercenter	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₂₇
hypocenter	C₁₂₇	C₂×#554
LCS	G ▷ C₂²×C₁₂₇ ▷ C₁₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22550584	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16861208	C₂	semidirect
3. C₂×#16861199	C₂	semidirect
4. C₂×#16861189	C₂	semidirect
5. C₂×#16861186	C₂	semidirect
6. C₂×#16861185	C₂	semidirect
7. C₂×Q₈×Dic₁₂₇	C₂	semidirect
10. C₂²×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂	semidirect
11. C₂×C₄⋊C₄×D₁₂₇	C₂	semidirect
12. C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	C₂	semidirect
18. #16861208	C₂²	semidirect
19. #16861199	C₂²	semidirect
20. #16861189	C₂²	semidirect
21. #16861186	C₂²	semidirect
22. #16861185	C₂²	semidirect
23. Q₈×Dic₁₂₇	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	semidirect
35. C₄⋊C₄×D₁₂₇	C₂²	semidirect
43. C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	C₂²	semidirect
50. C₂×C₂²⋊D₁₂₇	Q₈	semidirect
93. C₂²⋊D₁₂₇	C₂×Q₈	semidirect
144. C₂×C₁₂₇	#554	semidirect
150. C₁₂₇	C₂×#554	semidirect
157. C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₂₇	semidirect
175. C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₂₇	semidirect
295. C₂	#22550584	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22550584	2
C₂×#16861208	2
C₂×#16861199	2
C₂×#16861189	2
C₂×#16861186	2
C₂×#16861185	2
C₂×Q₈×Dic₁₂₇	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	2
C₂×(C₂²⋊D₁₂₇)⋊C₄	2
C₂²×C₄⋊Dic₁₂₇	2
C₂×C₄⋊C₄×D₁₂₇	2
C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₂₇	2
C₂×#554	127

Subgroups — C2×#22550584 #30652262

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22550584 #30652262