Subgroups — C₂×#22550590 #30652269

Order 16256.

1240 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22550590	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16861208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16861196	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16861195	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16861181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16861180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×D₄×Dic₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#16861168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#16861167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#16861165	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#121×C₁₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×Dic₂₅₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×D₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16861208	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#16861196	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#16861195	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#16861181	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#16861180	C₂²	1	8	yes	complemented
23	D₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#16861168	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#16861167	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#16861165	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×Dic₁₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#121×C₁₂₇	C₂²	1	8	yes	complemented
45	C₂×C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×D₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×Dic₂₅₄	—	4	4	no	—
49	C₂×Dic₂₅₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	—	2	4	no	—
51	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	—	4	4	no	—
52	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊D₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×Dic₁₂₇	—	2	8	no	—
55	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×D₁₂₇	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×D₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
63	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
64	C₄⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
65	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	Dic₁₂₇⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂²⋊Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
71	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	(C₂×D₁₂₇)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
74	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
75	C₄×Dic₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×D₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
79	C₂×D₄×C₁₂₇	—	4	4	no	—
80	C₂×D₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×D₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₁₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²⋊C₄×C₁₂₇	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₁₂₇	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
93	Dic₂₅₄	—	4	8	no	—
94	C₂²⋊D₁₂₇	—	2	8	no	—
95	C₂²⋊D₁₂₇	—	4	8	no	—
96	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
99	C₂×Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₂₇	—	2	16	no	—
101	C₂×Dic₁₂₇	#41	1	4	yes	—
102	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂×Dic₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
107	C₄×D₁₂₇	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₁₂₇	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₁₂₇	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	D₄×C₁₂₇	—	2	8	no	—
118	D₄×C₁₂₇	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₁₂₇	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₁₂₇	#41	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₁₂₇	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₁₂₇	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₁₂₇	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₁₂₇	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₁₂₇	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₁₂₇	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₁₂₇	C₂×#41	1	2	yes	—
136	C₂²×C₁₂₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
137	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
138	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
139	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
140	C₂×D₁₂₇	—	2	2	no	—
141	C₂×D₁₂₇	—	4	4	no	—
142	C₄×C₁₂₇	—	2	2	no	—
143	C₄×C₁₂₇	—	2	4	no	—
144	C₄×C₁₂₇	C₂×#41	1	4	yes	—
145	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
146	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
147	Dic₁₂₇	—	2	4	no	—
148	Dic₁₂₇	—	2	2	no	—
149	Dic₁₂₇	C₂×#41	1	4	yes	—
150	C₂×C₁₂₇	—	4	2	no	—
151	C₂×C₁₂₇	—	4	4	no	—
152	C₂×C₁₂₇	#555	1	4	yes	complemented
153	C₂×C₁₂₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₁₂₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₁₂₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
156	D₁₂₇	—	4	2	no	—
157	C₂×#555	—	127	1	no	maximal, Sylow
158	C₁₂₇	C₂×#555	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
159	#555	—	127	16	no	—
160	C₂×C₄⋊Q₈	—	127	1	no	—
161	C₂×#124	—	127	2	no	—
162	C₂×#124	—	127	2	no	—
163	C₂×#121	—	127	1	no	—
164	C₂×#121	—	127	2	no	—
165	C₂×#121	D₁₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
166	C₂×C₄×D₄	—	127	1	no	—
167	C₂×C₄×D₄	—	127	1	no	—
168	C₂×#117	—	127	1	no	—
169	C₂×#117	—	127	1	no	—
170	C₂×#117	—	127	2	no	—
171	C₂²×Q₈	—	127	2	no	—
172	C₂²×D₄	—	127	2	no	—
173	C₂²×D₄	—	127	1	no	—
174	C₂²×D₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×D₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
176	C₂³×C₄	—	127	2	no	—
177	C₂³×C₄	—	127	1	no	—
178	C₂³×C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊Q₈	—	127	8	no	—
180	#124	—	127	16	no	—
181	#124	—	127	16	no	—
182	#121	—	127	8	no	—
183	#121	—	127	16	no	—
184	#121	C₂×D₁₂₇	1	8	yes	complemented
185	C₄×D₄	—	127	8	no	—
186	C₄×D₄	—	127	8	no	—
187	#117	—	127	8	no	—
188	#117	—	127	8	no	—
189	#117	—	127	16	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	127	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	127	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	127	1	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₂₇	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	127	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	127	1	no	—
205	C₂⁴	—	127	1	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
207	C₂⁴	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
208	C₂×Q₈	—	127	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	508	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	127	8	no	—
213	C₂×D₄	—	127	4	no	—
214	C₂×D₄	—	508	4	no	—
215	C₂×D₄	—	254	4	no	—
216	C₂×D₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
217	C₂×D₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	127	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	127	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	127	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	127	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	254	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	254	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	127	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	127	4	no	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	4	yes	—
237	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	127	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	127	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₂₇	1	8	yes	—
244	C₄²	—	127	8	no	—
245	C₄²	—	127	8	no	—
246	C₄²	—	127	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	127	2	no	—
254	C₂³	—	254	2	no	—
255	C₂³	—	254	2	no	—
256	C₂³	—	254	2	no	—
257	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂³×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	508	8	no	—
261	D₄	—	2	8	no	—
262	D₄	—	4	8	no	—
263	D₄	—	508	8	no	—
264	D₄	—	254	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	127	4	no	—
269	C₂×C₄	—	127	2	no	—
270	C₂×C₄	—	127	4	no	—
271	C₂×C₄	—	127	2	no	—
272	C₂×C₄	—	127	2	no	—
273	C₂×C₄	—	127	4	no	—
274	C₂×C₄	—	254	16	no	—
275	C₂×C₄	—	254	4	no	—
276	C₂×C₄	—	254	2	no	—
277	C₂×C₄	—	254	4	no	—
278	C₂×C₄	—	254	2	no	—
279	C₂×C₄	—	254	8	no	—
280	C₂×C₄	#14523247	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×D₁₂₇	1	2	yes	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	508	4	no	—
293	C₂²	—	254	2	no	—
294	C₂²	—	254	2	no	—
295	C₂²	—	254	2	no	—
296	C₂²	#41×D₁₂₇	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#14523247	1	2	yes	—
298	C₂²	#16861254	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	127	4	no	—
303	C₄	—	254	4	no	—
304	C₄	—	254	2	no	—
305	C₄	—	254	4	no	—
306	C₄	—	254	2	no	—
307	C₄	C₂×#14523247	1	4	yes	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	4	2	no	—
310	C₂	—	508	2	no	—
311	C₂	#22550590	1	4	yes	direct product factor
312	C₂	C₂×#41×D₁₂₇	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂²×#14523247	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#16861254	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₁₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₁₂₇	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₂₇
Fitting	C₂×#121×C₁₂₇	C₂
socle	C₂³×C₁₂₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#121	D₁₂₇
hypocenter	C₁₂₇	C₂×#555
LCS	G ▷ C₂²×C₁₂₇ ▷ C₁₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#121

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22550590	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16861208	C₂	semidirect
3. C₂×#16861196	C₂	semidirect
4. C₂×#16861195	C₂	semidirect
5. C₂×#16861181	C₂	semidirect
6. C₂×#16861180	C₂	semidirect
7. C₂×D₄×Dic₁₂₇	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂	semidirect
9. C₂×#16861168	C₂	semidirect
10. C₂×#16861167	C₂	semidirect
11. C₂×#16861165	C₂	semidirect
12. C₂×#121×C₁₂₇	C₂	semidirect
18. #16861208	C₂²	semidirect
19. #16861196	C₂²	semidirect
20. #16861195	C₂²	semidirect
21. #16861181	C₂²	semidirect
22. #16861180	C₂²	semidirect
23. D₄×Dic₁₂₇	C₂²	semidirect
24. C₄×C₂²⋊D₁₂₇	C₂²	semidirect
25. #16861168	C₂²	semidirect
26. #16861167	C₂²	semidirect
27. #16861165	C₂²	semidirect
44. #121×C₁₂₇	C₂²	semidirect
152. C₂×C₁₂₇	#555	semidirect
158. C₁₂₇	C₂×#555	semidirect
165. C₂×#121	D₁₂₇	semidirect
184. #121	C₂×D₁₂₇	semidirect
311. C₂	#22550590	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22550590	2
C₂×#16861208	2
C₂×#16861196	2
C₂×#16861195	2
C₂×#16861181	2
C₂×#16861180	2
C₂×D₄×Dic₁₂₇	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₂₇	2
C₂×#16861168	2
C₂×#16861167	2
C₂×#16861165	2
C₂×#121×C₁₂₇	2
C₂×#555	127

Subgroups — C2×#22550590 #30652269

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22550590 #30652269