Subgroups — C₂×#22554012 #30679484

Order 16768.

1252 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22554012	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16862239	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16862238	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16862229	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16862219	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16862217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#16862217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×D₅₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₃₁	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#16862204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄⋊C₄×D₁₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₄×C₁₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×D₅₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊D₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊D₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×D₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×D₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
19	#16862239	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#16862238	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#16862229	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#16862219	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#16862217	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#16862217	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₄×D₅₂₄	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₄×C₂²⋊D₁₃₁	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#16862204	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×C₄⋊Dic₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Dic₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×Dic₁₃₁⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×Dic₁₃₁⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×Dic₁₃₁⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊C₄×D₁₃₁	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂×C₂²⋊Dic₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Dic₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×D₄×C₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×D₄×C₁₃₁	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊C₄×C₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₃₁	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²×C₁₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×D₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×D₅₂₄	—	2	4	no	—
50	C₂×D₅₂₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊D₁₃₁	—	2	8	no	—
52	C₂×C₂²⋊D₁₃₁	—	4	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊D₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊D₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×Dic₁₃₁	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Dic₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Dic₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Dic₁₃₁	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₁₃₁	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₁₃₁	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×D₁₃₁	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄×D₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×D₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×D₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
65	C₄⋊Dic₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
66	C₄⋊Dic₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
67	C₄⋊Dic₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
68	Dic₁₃₁⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	Dic₁₃₁⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	Dic₁₃₁⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²⋊Dic₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²⋊Dic₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
73	(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	(C₂×D₁₃₁)⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₄×Dic₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂⁴×C₁₃₁	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×D₄×C₁₃₁	—	2	4	no	—
79	C₂×D₄×C₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₁₃₁	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₁₃₁	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂²×C₄×C₁₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₄×C₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²⋊C₄×C₁₃₁	C₂³	1	8	yes	—
88	C₄²×C₁₃₁	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₁₃₁	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₁₃₁	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₁₃₁	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₁₃₁	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₁₃₁	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₁₃₁	#41	1	4	yes	—
95	C₂²×D₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
96	C₂²×D₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
97	D₅₂₄	—	2	8	no	—
98	C₂²⋊D₁₃₁	—	2	16	no	—
99	C₂²⋊D₁₃₁	—	4	8	no	—
100	C₂×Dic₁₃₁	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₃₁	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₃₁	—	2	4	no	—
103	C₂×Dic₁₃₁	—	2	4	no	—
104	C₂×Dic₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂×Dic₁₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂×Dic₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
107	C₂×Dic₁₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₄×D₁₃₁	—	2	8	no	—
109	C₄×D₁₃₁	—	2	8	no	—
110	C₄×D₁₃₁	—	4	8	no	—
111	C₂³×C₁₃₁	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₁₃₁	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₁₃₁	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₁₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂³×C₁₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	D₄×C₁₃₁	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₁₃₁	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₁₃₁	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₁₃₁	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₁₃₁	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄×C₁₃₁	#41	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₁₃₁	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₁₃₁	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂²×C₁₃₁	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₁₃₁	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₁₃₁	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₁₃₁	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₁₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₁₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
132	C₂²×C₁₃₁	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
133	C₂²×C₁₃₁	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
134	C₂×D₁₃₁	—	2	8	no	—
135	C₂×D₁₃₁	—	2	2	no	—
136	C₂×D₁₃₁	—	2	2	no	—
137	C₂×D₁₃₁	—	2	2	no	—
138	C₂×D₁₃₁	—	2	2	no	—
139	C₂×D₁₃₁	—	2	2	no	—
140	C₂×D₁₃₁	—	4	4	no	—
141	C₂×D₁₃₁	C₂×#41	1	4	yes	—
142	C₄×C₁₃₁	—	2	2	no	—
143	C₄×C₁₃₁	—	2	2	no	—
144	C₄×C₁₃₁	—	2	4	no	—
145	C₄×C₁₃₁	C₂×#41	1	4	yes	—
146	Dic₁₃₁	—	2	2	no	—
147	Dic₁₃₁	—	2	2	no	—
148	Dic₁₃₁	—	2	4	no	—
149	Dic₁₃₁	—	2	4	no	—
150	C₂×C₁₃₁	—	4	4	no	—
151	C₂×C₁₃₁	#553	1	4	yes	complemented
152	C₂×C₁₃₁	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₁₃₁	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₁₃₁	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
155	D₁₃₁	—	2	4	no	—
156	D₁₃₁	—	4	2	no	—
157	C₁₃₁	C₂×#553	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
158	C₂×#553	—	131	1	no	maximal, Sylow
159	#553	—	131	16	no	—
160	C₂×#126	—	131	2	no	—
161	C₂×#125	—	131	1	no	—
162	C₂×#123	—	131	2	no	—
163	C₂×#121	—	131	1	no	—
164	C₂×#121	—	131	1	no	—
165	C₂×#121	—	131	2	no	—
166	C₂×C₄×D₄	—	131	2	no	—
167	C₂×C₄×D₄	—	131	1	no	—
168	C₂×C₄×D₄	D₁₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
169	C₂×#117	—	131	1	no	—
170	C₂²×C₄⋊C₄	—	131	1	no	—
171	C₂²×D₄	—	131	2	no	—
172	C₂²×D₄	—	131	2	no	—
173	C₂²×D₄	—	131	1	no	—
174	C₂²×D₄	C₂×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₄	—	131	1	no	—
176	C₂³×C₄	—	131	1	no	—
177	C₂³×C₄	—	131	2	no	—
178	C₂³×C₄	C₂×D₁₃₁	1	2	yes	—
179	#126	—	131	16	no	—
180	#125	—	131	8	no	—
181	#123	—	131	16	no	—
182	#121	—	131	8	no	—
183	#121	—	131	8	no	—
184	#121	—	131	16	no	—
185	C₄×D₄	—	131	16	no	—
186	C₄×D₄	—	131	8	no	—
187	C₄×D₄	C₂×D₁₃₁	1	8	yes	complemented
188	#117	—	131	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	131	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	131	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	131	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	131	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	131	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	131	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	131	8	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	131	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	131	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	131	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	131	1	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	131	1	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₃₁	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	—	131	2	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
205	C₂⁴	—	131	1	no	—
206	C₂⁴	—	131	1	no	—
207	C₂⁴	C₂²×D₁₃₁	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	262	4	no	—
210	C₂×D₄	—	262	8	no	—
211	C₂×D₄	—	524	4	no	—
212	C₂×D₄	—	131	8	no	—
213	C₂×D₄	—	131	8	no	—
214	C₂×D₄	—	131	4	no	—
215	C₂×D₄	C₂²×D₁₃₁	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	262	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	262	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	524	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	131	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	131	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	131	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	131	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	131	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	131	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	131	8	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₁	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₁	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	131	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	131	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	131	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	131	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	131	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	131	4	no	—
238	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₃₁	1	4	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	131	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	131	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	131	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	131	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	131	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₃₁	1	8	yes	—
245	C₄²	—	131	8	no	—
246	C₄²	C₂²×D₁₃₁	1	4	yes	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	262	2	no	—
251	C₂³	—	262	2	no	—
252	C₂³	—	262	2	no	—
253	C₂³	—	262	2	no	—
254	C₂³	—	262	2	no	—
255	C₂³	—	131	2	no	—
256	C₂³	—	131	4	no	—
257	C₂³	—	131	2	no	—
258	C₂³	C₂³×D₁₃₁	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂³×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	2	8	no	—
261	D₄	—	262	8	no	—
262	D₄	—	262	16	no	—
263	D₄	—	524	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	262	4	no	—
269	C₂×C₄	—	262	2	no	—
270	C₂×C₄	—	262	2	no	—
271	C₂×C₄	—	262	4	no	—
272	C₂×C₄	—	262	8	no	—
273	C₂×C₄	—	262	8	no	—
274	C₂×C₄	—	524	8	no	—
275	C₂×C₄	—	131	2	no	—
276	C₂×C₄	—	131	4	no	—
277	C₂×C₄	—	131	2	no	—
278	C₂×C₄	—	131	4	no	—
279	C₂×C₄	#14523513	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂³×D₁₃₁	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×D₁₃₁	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×D₁₃₁	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×D₁₃₁	1	2	yes	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	4	8	no	—
288	C₂²	—	262	2	no	—
289	C₂²	—	262	2	no	—
290	C₂²	—	262	8	no	—
291	C₂²	—	262	2	no	—
292	C₂²	—	262	2	no	—
293	C₂²	—	262	2	no	—
294	C₂²	—	524	4	no	—
295	C₂²	—	131	4	no	—
296	C₂²	#41×D₁₃₁	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#14523513	1	2	yes	—
298	C₂²	#16862291	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂⁴×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	262	4	no	—
304	C₄	—	262	2	no	—
305	C₄	—	262	2	no	—
306	C₄	—	262	4	no	—
307	C₄	C₂×#14523513	1	4	yes	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	262	4	no	—
310	C₂	—	524	2	no	—
311	C₂	#22554012	1	4	yes	direct product factor
312	C₂	C₂×#41×D₁₃₁	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂²×#14523513	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#16862291	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₁₃₁
commutator, cosocle	C₂²×C₁₃₁	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₃₁
Fitting	C₂×C₄×D₄×C₁₃₁	C₂
socle	C₂³×C₁₃₁	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×D₄	D₁₃₁
hypocenter	C₁₃₁	C₂×#553
LCS	G ▷ C₂²×C₁₃₁ ▷ C₁₃₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22554012	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16862239	C₂	semidirect
3. C₂×#16862238	C₂	semidirect
4. C₂×#16862229	C₂	semidirect
5. C₂×#16862219	C₂	semidirect
6. C₂×#16862217	C₂	semidirect
7. C₂×#16862217	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×D₅₂₄	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×C₂²⋊D₁₃₁	C₂	semidirect
10. C₂×#16862204	C₂	semidirect
11. C₂×C₄⋊C₄×D₁₃₁	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₄×C₁₃₁	C₂	semidirect
19. #16862239	C₂²	semidirect
20. #16862238	C₂²	semidirect
21. #16862229	C₂²	semidirect
22. #16862219	C₂²	semidirect
23. #16862217	C₂²	semidirect
24. #16862217	C₂²	semidirect
25. C₄×D₅₂₄	C₂²	semidirect
26. C₄×C₂²⋊D₁₃₁	C₂²	semidirect
27. #16862204	C₂²	semidirect
34. C₄⋊C₄×D₁₃₁	C₂²	semidirect
43. C₄×D₄×C₁₃₁	C₂²	semidirect
151. C₂×C₁₃₁	#553	semidirect
157. C₁₃₁	C₂×#553	semidirect
168. C₂×C₄×D₄	D₁₃₁	semidirect
187. C₄×D₄	C₂×D₁₃₁	semidirect
311. C₂	#22554012	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22554012	2
C₂×#16862239	2
C₂×#16862238	2
C₂×#16862229	2
C₂×#16862219	2
C₂×#16862217	2
C₂×C₄×D₅₂₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₃₁	2
C₂×#16862204	2
C₂×C₄⋊C₄×D₁₃₁	2
C₂×C₄×D₄×C₁₃₁	2
C₂×#553	131

Subgroups — C2×#22554012 #30679484

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22554012 #30679484