Subgroups — #30745425

Order 17152.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22558052	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂³×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
5	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
6	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
7	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	1	8	yes	complemented
8	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄²×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
12	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
13	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
14	C₂×#95×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
17	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
18	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
19	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
20	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	8	yes	—
21	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
23	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
24	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
26	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
27	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
29	C₂³×C₄×C₆₇	Q₈	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
32	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
33	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₈	1	8	yes	complemented
34	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
37	#95×C₆₇	—	2	4	no	—
38	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
40	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	16	no	—
41	C₂⁴×C₆₇	—	4	2	no	—
42	C₂⁴×C₆₇	—	4	2	no	—
43	C₂⁴×C₆₇	C₄²	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
48	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
54	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
55	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
57	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
59	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₆₇	C₄²	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
69	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
73	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
74	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
75	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
76	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
81	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
82	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
83	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
84	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
85	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
86	C₂³×C₆₇	#95	1	4	yes	—
87	C₂³×C₆₇	C₄×C₈	1	4	yes	—
88	C₂³×C₆₇	#97	1	4	yes	—
89	C₂³×C₆₇	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
90	C₂³×C₆₇	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
91	C₂³×C₆₇	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	#95	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	#95	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	#99	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
118	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₆₇	—	2	16	no	—
121	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₆₇	#336	1	8	yes	—
131	C₂²×C₆₇	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₆₇	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₆₇	C₂×#99	1	2	yes	—
136	C₂²×C₆₇	#413	1	2	yes	—
137	C₂²×C₆₇	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
138	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
141	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
142	C₄×C₆₇	#342	1	4	yes	—
143	#7907	—	67	1	no	maximal, Sylow
144	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
145	C₂×C₆₇	—	2	1	no	—
146	C₂×C₆₇	—	2	1	no	—
147	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
148	C₂×C₆₇	#1459	1	4	yes	—
149	C₂×C₆₇	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₆₇	C₂×#342	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₆₇	#1742	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
153	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
154	#1280	—	67	4	no	—
155	C₆₇	#7907	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
156	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₈	—	134	2	no	—
158	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₆₇	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄²	Dic₆₇	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₈	—	134	2	no	—
164	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×#95	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
167	C₂⁵	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
168	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂³×C₄	Dic₁₃₄	1	2	yes	—
170	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
171	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
172	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
175	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
176	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	—	268	8	no	—
178	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
179	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₆₇⋊C₈	1	8	yes	complemented
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	C₄×Dic₆₇	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂²⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
195	C₂⁴	C₂×C₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
196	C₂⁴	#11761612	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₄×Dic₆₇	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	1	8	yes	complemented
218	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	—	268	8	no	—
223	C₂×C₈	—	268	16	no	—
224	C₂×C₈	—	134	8	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
226	C₄²	—	4	4	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	8	no	—
237	C₂³	—	4	8	no	—
238	C₂³	C₆₇⋊#95	1	4	yes	—
239	C₂³	C₄×C₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
240	C₂³	#14523954	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	1	8	yes	—
242	C₂³	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	1	8	yes	—
243	C₂³	C₂×C₄×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂²×C₆₇⋊C₈	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂×#11761612	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	C₆₇⋊#95	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₆₇⋊#95	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#14523958	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₈	—	268	8	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	16	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	1	no	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	1	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	8	no	—
282	C₂²	#16863151	1	8	yes	—
283	C₂²	C₂×C₆₇⋊#95	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×#14523954	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×#14523958	1	2	yes	—
288	C₂²	#16863380	1	2	yes	—
289	C₂²	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	1	2	yes	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	4	8	no	—
294	C₄	#16863163	1	4	yes	—
295	C₂	—	2	1	no	—
296	C₂	—	2	1	no	—
297	C₂	—	2	8	no	—
298	C₂	—	2	2	no	—
299	C₂	#22558527	1	4	yes	—
300	C₂	C₂×#16863151	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#16863163	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#22559948	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×C₈
Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇
Fitting	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄
cosocle	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#7907
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22558052	C₂	semidirect
7. C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	semidirect
33. C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₈	semidirect
68. C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	semidirect
155. C₆₇	#7907	semidirect
182. C₂×C₂²⋊C₄	C₆₇⋊C₈	semidirect
217. C₂²×C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
#22558052	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	2
#7907	67