Subgroups — #30749182

Order 17152.

680 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22560189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22558050	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	1	no	—
7	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	1	no	—
8	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	#16863151	—	2	1	no	—
10	#16863151	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄²×C₆₇	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
16	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
17	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#95×C₆₇	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
21	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
22	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
23	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
24	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	2	no	—
25	C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
26	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
27	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
28	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
32	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₈	1	4	yes	complemented
36	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
47	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
48	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
50	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
51	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
52	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
53	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
54	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
66	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	M₁₆	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	SD₁₆	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
81	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
83	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
84	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
86	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
88	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
89	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
90	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
91	C₄²×C₆₇	#41	1	4	yes	—
92	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
93	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
94	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₆₇	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₆₇	#103	1	2	yes	—
98	C₂³×C₆₇	#104	1	2	yes	—
99	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	#103	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
133	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
134	C₆₇⋊C₈	—	8	2	no	—
135	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₆₇	Q₈⋊C₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₆₇	#381	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₆₇	#407	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₆₇	#418	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₆₇	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₆₇	#421	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
151	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
152	C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
153	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
154	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
155	C₄×C₆₇	#431	1	2	yes	—
156	C₄×C₆₇	#432	1	2	yes	—
157	C₄×C₆₇	#481	1	2	yes	—
158	C₄×C₆₇	#484	1	2	yes	—
159	#8707	—	67	1	no	maximal, Sylow
160	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
161	C₂×C₆₇	C₂×Q₈⋊C₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₆₇	#1478	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₆₇	#1487	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₆₇	#1490	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₆₇	#1817	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₆₇	#1824	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₆₇	#1826	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
169	#1797	—	67	1	no	—
170	C₄×C₂²⋊C₈	—	67	1	no	—
171	#1279	—	67	4	no	—
172	C₆₇	#8707	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
173	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	—	134	1	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₈	—	134	1	no	—
180	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
181	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄×C₄⋊C₄	Dic₆₇	1	2	yes	—
184	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₂×#95	—	2	1	no	—
186	#336	—	134	1	no	—
187	#336	—	134	1	no	—
188	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₈	—	134	2	no	—
194	C₂²×C₈	—	134	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₆₇⋊C₈	1	4	yes	complemented
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	268	2	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
213	C₄×C₈	—	134	4	no	—
214	#95	—	2	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#11761612	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#11761615	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#11761618	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	—	268	2	no	—
243	C₂×C₈	—	268	2	no	—
244	C₂×C₈	—	268	2	no	—
245	C₂×C₈	—	268	2	no	—
246	C₂×C₈	—	268	2	no	—
247	C₂×C₈	—	134	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	#11761612	1	4	yes	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	#11761628	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	1	2	yes	—
265	C₂³	#14523967	1	2	yes	—
266	C₂³	#14523970	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#14523967	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#14524002	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#14524026	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#14524026	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₆₇⋊C₈	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#11761612	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11761612	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#11761615	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#14524069	1	2	yes	—
301	C₈	—	268	4	no	—
302	C₈	—	536	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	Q₈⋊(C₆₇⋊C₈)	1	4	yes	—
310	C₂²	#16863259	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16863360	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#14523967	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16863401	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#14523970	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#16863413	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	4	1	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	4	4	no	—
323	C₄	#16863449	1	2	yes	—
324	C₄	#16863453	1	2	yes	—
325	C₄	#16863714	1	2	yes	—
326	C₄	#16863731	1	2	yes	—
327	C₂	—	2	4	no	—
328	C₂	C₂×Q₈⋊(C₆₇⋊C₈)	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#22558600	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#22558638	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#22558652	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#22560277	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#22560299	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#22560308	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇
Fitting	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#8707
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22558050	C₂	semidirect
35. C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₈	semidirect
172. C₆₇	#8707	semidirect
199. C₂×C₄⋊C₄	C₆₇⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22560189	2
C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
#22558050	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	2
#8707	67