Subgroups — C₂²×#16863126 #30822176

Order 17152.

1454 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₃₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16863126	C₂	1	12	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂³×Dic₁₃₄	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂³×C₆₇⋊C₈	—	2	1	no	—
7	C₂×C₄×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
8	C₂×C₄×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₄	1	6	yes	—
10	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	—	2	1	no	—
13	C₂²×C₄×Dic₆₇	—	2	1	no	—
14	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	3	no	—
15	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
16	#16863126	C₂²	1	16	yes	direct product factor
17	C₂³×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	3	no	—
20	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
22	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
23	C₂²×Dic₁₃₄	C₈	1	8	yes	complemented
24	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
25	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
26	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	6	no	—
29	C₄×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
30	C₄×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
31	C₄×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
32	C₄×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
33	C₄×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	6	yes	—
36	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	6	no	—
37	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	6	no	—
38	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	6	no	—
39	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	6	no	—
40	C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	6	no	—
41	C₄×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	6	no	—
46	C₂²×C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	3	yes	—
49	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	3	yes	—
50	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	3	yes	—
51	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	6	no	—
52	C₄⋊C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
54	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
55	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
56	C₂×Dic₁₃₄	C₂×C₈	1	24	yes	complemented
57	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
59	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
60	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
61	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
62	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	24	no	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
65	C₄⋊Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
66	Dic₆₇⋊C₄	—	2	12	no	—
67	Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₄×Dic₆₇	—	2	12	no	—
69	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
70	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	SD₁₆	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	3	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
82	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
83	C₂×C₈×C₆₇	—	4	12	no	—
84	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
85	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	3	yes	—
86	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
87	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
88	C₄²×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₆₇	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
90	C₂³×C₆₇	#103	1	4	yes	—
91	C₂³×C₆₇	#104	1	4	yes	—
92	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
93	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
94	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
95	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₈	1	12	yes	—
96	C₂×C₄×C₆₇	#103	1	12	yes	—
97	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
98	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
99	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
100	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	6	yes	—
101	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	6	yes	—
102	C₂×C₄×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
103	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	6	yes	—
104	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
108	C₂×Dic₆₇	—	2	24	no	—
109	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
111	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
112	Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
113	Dic₁₃₄	C₂²×C₈	1	8	yes	complemented
114	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₆₇	Q₈⋊C₈	1	16	yes	complemented
117	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
118	C₂²×C₆₇	C₂×#103	1	6	yes	—
119	C₂²×C₆₇	C₂×#104	1	6	yes	—
120	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
122	C₄×C₆₇	—	2	3	no	—
123	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
124	C₄×C₆₇	C₂×#103	1	6	yes	—
125	C₄×C₆₇	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
126	C₄×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
127	C₄×C₆₇	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
128	C₄×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
129	Dic₆₇	—	2	8	no	—
130	Dic₆₇	—	4	4	no	—
131	C₂²×Q₈⋊C₈	—	67	1	no	maximal, Sylow
132	C₂×C₆₇	C₂×Q₈⋊C₈	1	12	yes	complemented
133	C₂×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₆₇	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₆₇	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄×Q₈	—	67	1	no	—
137	C₂²×C₄⋊C₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄×C₈	—	67	1	no	—
139	C₂×Q₈⋊C₈	—	67	12	no	—
140	C₆₇	C₂²×Q₈⋊C₈	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
141	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
142	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂³×C₈	—	134	1	no	—
144	C₂×C₄×Q₈	—	67	6	no	—
145	C₂×C₄×Q₈	—	67	6	no	—
146	C₂×C₄×Q₈	—	134	3	no	—
147	C₂×C₄×Q₈	—	134	3	no	—
148	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
149	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
150	C₂²×C₄²	—	134	1	no	—
151	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
153	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	6	yes	—
154	C₂×C₄×C₈	—	67	6	no	—
155	C₂×C₄×C₈	—	134	3	no	—
156	Q₈⋊C₈	—	67	16	no	—
157	C₂²×Q₈	—	67	8	no	—
158	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
159	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
160	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
161	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
162	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
163	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
164	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
167	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
169	C₂²×C₈	—	134	6	no	—
170	C₄×Q₈	—	67	12	no	—
171	C₄×Q₈	—	67	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	134	12	no	—
173	C₄×Q₈	—	134	6	no	—
174	C₄×Q₈	—	134	6	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
179	C₂×C₄²	—	134	6	no	—
180	C₂×C₄²	—	134	6	no	—
181	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	3	yes	—
182	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	3	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	3	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
187	C₄×C₈	—	67	4	no	—
188	C₄×C₈	—	134	6	no	—
189	C₂⁴	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	67	24	no	—
191	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	134	24	no	—
193	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
194	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
200	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
201	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
202	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
203	C₂²×C₄	C₈×D₆₇	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#11761611	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#11761616	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#11761618	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	3	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	3	yes	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	4	12	no	—
212	C₂×C₈	—	134	24	no	—
213	C₂×C₈	—	134	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
216	C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
217	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
218	C₄²	—	134	12	no	—
219	C₄²	—	134	4	no	—
220	C₄²	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	6	yes	—
221	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	3	yes	—
222	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
223	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	3	yes	—
224	C₄²	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	(C₂×D₆₇)⋊C₈	1	4	yes	—
226	C₂³	#14523966	1	4	yes	—
227	C₂³	#14523969	1	4	yes	—
228	C₂³	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
229	Q₈	—	67	8	no	—
230	Q₈	—	134	24	no	—
231	Q₈	—	134	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	6	no	—
233	C₂×C₄	—	2	6	no	—
234	C₂×C₄	—	268	12	no	—
235	C₂×C₄	—	134	4	no	—
236	C₂×C₄	—	134	4	no	—
237	C₂×C₄	—	134	24	no	—
238	C₂×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₈	1	12	yes	—
239	C₂×C₄	#14523966	1	12	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	3	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×C₈×D₆₇	1	6	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#11761611	1	6	yes	—
245	C₂×C₄	C₂×#11761616	1	6	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	6	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
250	C₈	—	4	4	no	—
251	C₈	—	134	8	no	—
252	C₂²	#16863126	1	16	yes	direct product factor
253	C₂²	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	1	6	yes	—
254	C₂²	C₂×#14523966	1	6	yes	—
255	C₂²	C₂×#14523969	1	6	yes	—
256	C₂²	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄	—	2	1	no	—
258	C₄	—	2	3	no	—
259	C₄	—	268	4	no	—
260	C₄	—	134	8	no	—
261	C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	1	6	yes	—
262	C₄	C₂×#14523966	1	6	yes	—
263	C₄	C₂²×C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
264	C₄	C₂²×#11761611	1	1	yes	characteristic
265	C₄	C₂²×#11761616	1	1	yes	characteristic
266	C₄	C₂²×#11761618	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₂×#16863126	1	12	yes	direct product factor
268	C₂	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂	C₂²×#14523966	1	1	yes	characteristic
270	C₂	C₂²×#14523969	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇
commutator	C₄×C₆₇	C₂³×C₈
Frattini	C₄²	C₂³×D₆₇
Fitting	C₂²×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄
cosocle	C₄²×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄⋊C₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×Q₈⋊C₈
LCS	G ▷ C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16863126	C₂	direct (N × H)
16. #16863126	C₂²	direct (N × H)
23. C₂²×Dic₁₃₄	C₈	semidirect
56. C₂×Dic₁₃₄	C₂×C₈	semidirect
113. Dic₁₃₄	C₂²×C₈	semidirect
116. C₂²×C₆₇	Q₈⋊C₈	semidirect
132. C₂×C₆₇	C₂×Q₈⋊C₈	semidirect
140. C₆₇	C₂²×Q₈⋊C₈	semidirect
252. C₂²	#16863126	direct (N × H)
267. C₂	C₂×#16863126	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₃₄	2
C₂²×C₄×C₆₇⋊C₈	2
C₂×#16863126	2
C₂²×C₄⋊C₈×C₆₇	2
C₂²×Q₈⋊C₈	67

Subgroups — C22×#16863126 #30822176

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863126 #30822176