Subgroups — #30853331

Order 17152.

1042 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863354	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#14524002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22559959	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22559956	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22559953	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22559907	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#16863151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#14524002	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#14524002	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16863354	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#14523953	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	4	yes	—
15	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×C₂²⋊Dic₆₇	C₄	1	4	yes	—
18	#16863242	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄²×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
20	#16863151	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16863151	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16863151	C₂²	1	2	yes	—
23	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
24	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	#14524002	—	2	2	no	—
35	#14524002	—	2	2	no	—
36	#14524002	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
46	#14523953	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
47	C₈×Dic₆₇	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
48	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
71	C₄⋊Dic₆₇	C₄²	1	4	yes	—
72	C₄⋊Dic₆₇	C₄²	1	4	yes	—
73	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊Dic₆₇	C₄²	1	8	yes	—
75	C₄×Dic₆₇	—	2	8	no	—
76	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
77	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
78	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
79	C₄×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
80	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
93	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
102	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
103	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
104	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	8	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
122	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
124	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
125	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
126	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
127	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
128	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
129	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
130	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₆₇	#376	1	4	yes	—
136	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
140	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
141	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
142	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
143	C₄×C₆₇	#376	1	4	yes	—
144	C₄×C₆₇	C₂×#117	1	2	yes	—
145	C₄×C₆₇	C₂×#117	1	2	yes	—
146	Dic₆₇	—	2	4	no	—
147	Dic₆₇	—	2	4	no	—
148	Dic₆₇	—	4	4	no	—
149	#20368	—	67	1	no	maximal, Sylow
150	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₂×C₆₇	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₆₇	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₆₇	#2875	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₆₇	#2924	1	2	yes	—
155	C₂×C₆₇	#2925	1	2	yes	—
156	C₂×#405	—	67	2	no	—
157	C₄×#117	—	67	1	no	—
158	#1746	—	67	4	no	—
159	#1745	—	67	2	no	—
160	#1744	—	67	2	no	—
161	#1729	—	67	2	no	—
162	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic
163	C₂×#336	—	67	1	no	—
164	C₆₇	#20368	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
165	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
166	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
167	C₂×#117	—	67	1	no	—
168	C₂×#117	—	67	1	no	—
169	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
170	#405	—	67	16	no	—
171	C₂×#97	—	67	4	no	—
172	C₂×C₄×C₈	—	67	4	no	—
173	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
174	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
175	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
176	#376	—	67	2	no	—
177	C₄³	—	67	2	no	—
178	#336	—	67	4	no	—
179	#336	—	67	4	no	—
180	#336	—	67	1	no	—
181	#336	—	67	1	no	—
182	#336	—	67	2	no	—
183	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
184	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
186	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
188	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
189	C₂×M₁₆	C₄×D₆₇	1	8	yes	—
190	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
191	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
192	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
193	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
194	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
195	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
196	#117	—	67	8	no	—
197	#117	—	134	2	no	—
198	#117	—	134	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
209	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
212	#97	—	67	16	no	—
213	C₄×C₈	—	67	16	no	—
214	#95	—	67	4	no	—
215	#95	—	67	4	no	—
216	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#11761629	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	2	16	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	67	4	no	—
235	C₂×C₈	—	67	4	no	—
236	C₂×C₈	—	134	16	no	—
237	C₂×C₈	—	134	2	no	—
238	C₂×C₈	—	134	2	no	—
239	C₂×C₈	—	134	2	no	—
240	C₂×C₈	—	134	2	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	8	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	268	4	no	—
251	C₄²	—	67	8	no	—
252	C₄²	—	134	8	no	—
253	C₄²	—	134	2	no	—
254	C₄²	—	134	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
258	C₂³	#14523999	1	2	yes	—
259	C₂³	#14524001	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	67	4	no	—
268	C₂×C₄	—	67	4	no	—
269	C₂×C₄	—	134	4	no	—
270	C₂×C₄	—	134	4	no	—
271	C₂×C₄	—	134	4	no	—
272	C₂×C₄	—	134	4	no	—
273	C₂×C₄	—	134	4	no	—
274	C₂×C₄	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#14523999	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#14523999	1	8	yes	—
277	C₂×C₄	#14524001	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#14524001	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	#14524051	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	8	no	—
285	C₈	—	134	4	no	—
286	C₈	—	134	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	#16863241	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂×C₄²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#14523999	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#14524001	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#14524051	1	2	yes	—
296	C₂²	#16864162	1	2	yes	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	268	4	no	—
300	C₄	—	134	4	no	—
301	C₄	—	134	4	no	—
302	C₄	#16863241	1	4	yes	—
303	C₄	C₂×#14523999	1	2	yes	—
304	C₄	C₂×#14524001	1	2	yes	—
305	C₂	—	2	4	no	—
306	C₂	C₂×#16863241	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₄×#14524051	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#22568638	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#22568869	1	2	yes	—
310	C₂	#22568877	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20368
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22559959	C₂	semidirect
4. #22559956	C₂	semidirect
5. #22559953	C₂	semidirect
12. #16863354	C₄	semidirect
46. #14523953	C₂×C₄	semidirect
47. C₈×Dic₆₇	C₂×C₄	semidirect
164. C₆₇	#20368	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863354	2
C₄×#14524002	2
#22559959	2
#22559956	2
#22559953	2
#22559907	2
C₂×#16863151	2
C₆₇×#1728	2
#20368	67