Subgroups — #30853377

Order 17152.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863359	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×M₁₆×Dic₆₇	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22559974	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22559903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11761612	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524000	—	2	8	no	—
10	C₂×#14524000	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#14524000	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16863359	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
17	M₁₆×Dic₆₇	—	2	8	no	—
18	C₂×#14523953	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#16863151	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂⁴×D₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
34	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
35	C₂×#11761612	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	#14524000	—	2	16	no	—
38	#14524000	—	2	8	no	—
39	#14524000	—	2	8	no	—
40	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
43	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
47	(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
48	#14523953	—	2	8	no	—
49	C₈×Dic₆₇	—	2	8	no	—
50	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
60	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
61	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
62	C₂³×D₆₇	C₄²	1	4	yes	—
63	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂²×Dic₆₇	C₄²	1	4	yes	—
68	C₂²×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
69	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
74	C₂×C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
75	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×D₆₇	C₄²	1	8	yes	—
79	C₂×C₄×D₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
80	#11761612	—	2	16	no	—
81	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
84	Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
85	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₄×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
87	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
107	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
109	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
115	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
117	C₂²×D₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
133	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
134	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
135	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
136	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
138	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
139	C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
140	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
141	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₆₇	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₆₇	#568	1	4	yes	—
150	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
151	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
152	C₂×D₆₇	—	4	16	no	—
153	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
154	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
155	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
156	C₄×C₆₇	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
158	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
159	Dic₆₇	—	2	8	no	—
160	Dic₆₇	—	2	4	no	—
161	#20377	—	67	1	no	maximal, Sylow
162	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
163	C₂×C₆₇	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₆₇	#2873	1	2	yes	—
165	C₂×C₆₇	#2879	1	2	yes	—
166	C₂×C₆₇	#2921	1	2	yes	—
167	D₆₇	—	4	4	no	—
168	C₂²×#117	—	67	1	no	—
169	C₂×#407	—	67	2	no	—
170	C₂×C₄×M₁₆	—	67	2	no	—
171	#1750	—	67	8	no	—
172	#1728	—	67	1	no	—
173	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
174	C₆₇	#20377	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
175	C₂⁴×C₄	—	67	1	no	—
176	C₂²×M₁₆	—	67	2	no	—
177	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
178	C₂×#117	—	67	4	no	—
179	C₂×#117	—	67	4	no	—
180	C₂×#117	—	134	8	no	—
181	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
182	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
183	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
184	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
185	#407	—	67	16	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
187	C₄×M₁₆	—	134	8	no	—
188	C₂×#97	—	67	4	no	—
189	C₂×C₄×C₈	—	67	4	no	—
190	#336	—	67	4	no	—
191	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	complemented
192	C₂⁵	—	67	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
194	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
196	C₂³×C₄	—	67	8	no	—
197	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
198	C₂³×C₄	—	134	4	no	—
199	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
201	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
203	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
204	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
205	C₂×M₁₆	—	67	8	no	—
206	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
208	C₂×M₁₆	C₄×D₆₇	1	8	yes	—
209	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
210	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
211	#117	—	134	16	no	—
212	#117	—	134	8	no	—
213	#117	—	134	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	67	8	no	—
221	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
224	C₂²⋊C₈	—	67	32	no	—
225	#97	—	134	8	no	—
226	C₄×C₈	—	134	8	no	—
227	C₂⁴	—	268	4	no	—
228	C₂⁴	—	67	4	no	—
229	C₂⁴	—	67	2	no	—
230	C₂⁴	—	134	2	no	—
231	C₂⁴	—	134	2	no	—
232	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#11761629	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
258	M₁₆	—	2	16	no	—
259	M₁₆	—	134	16	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	67	8	no	—
263	C₂×C₈	—	134	4	no	—
264	C₂×C₈	—	134	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	8	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	67	8	no	—
271	C₄²	—	67	4	no	—
272	C₄²	—	67	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	268	8	no	—
275	C₂³	—	268	8	no	—
276	C₂³	—	268	8	no	—
277	C₂³	—	67	4	no	—
278	C₂³	—	134	8	no	—
279	C₂³	—	134	2	no	—
280	C₂³	—	134	2	no	—
281	C₂³	—	134	8	no	—
282	C₂³	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
284	C₂³	#14524001	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	268	8	no	—
290	C₂×C₄	—	67	4	no	—
291	C₂×C₄	—	67	8	no	—
292	C₂×C₄	—	134	8	no	—
293	C₂×C₄	—	134	2	no	—
294	C₂×C₄	—	134	2	no	—
295	C₂×C₄	—	134	8	no	—
296	C₂×C₄	—	134	16	no	—
297	C₂×C₄	—	134	8	no	—
298	C₂×C₄	—	134	8	no	—
299	C₂×C₄	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#14524001	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	(C₂²⋊D₆₇)⋊C₄	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#14524005	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	—	134	8	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	268	16	no	—
314	C₂²	—	268	4	no	—
315	C₂²	—	268	4	no	—
316	C₂²	—	134	8	no	—
317	C₂²	—	134	4	no	—
318	C₂²	#16863243	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂×C₄²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#14524001	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#16864162	1	4	yes	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	134	8	no	—
325	C₄	—	134	4	no	—
326	C₄	#16863243	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×(C₂²⋊D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₄	C₂×#14524005	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	268	4	no	—
331	C₂	C₂×#16863243	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#22568626	1	2	yes	—
333	C₂	#22568652	1	2	yes	—
334	C₂	#22568846	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₆₇	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20377
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×M₁₆×Dic₆₇	C₂	semidirect
4. #22559974	C₂	semidirect
5. #22559903	C₂	semidirect
6. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
15. #16863359	C₄	semidirect
18. C₂×#14523953	C₂²	semidirect
19. C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	semidirect
20. #16863151	C₂²	semidirect
23. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
47. (C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
173. #1728	D₆₇	semidirect
174. C₆₇	#20377	semidirect
191. #336	C₂×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524000	2
C₂×#16863359	2
C₂×M₁₆×Dic₆₇	2
#22559974	2
#22559903	2
C₆₇×#1728	2
#20377	67