Subgroups — #30854504

Order 17152.

1450 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 238 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²⋊C₄×C₆₇⋊C₈	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
6	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	1	16	yes	complemented
7	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
10	#16863151	C₂²	1	8	yes	complemented
11	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
15	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#95×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
18	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
20	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	16	yes	—
21	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
22	C₄×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
23	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
25	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
26	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₈	1	16	yes	complemented
32	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂×C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
34	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
36	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
38	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	16	no	—
39	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
40	C₂⁴×C₆₇	—	4	2	no	—
41	C₂⁴×C₆₇	—	4	2	no	—
42	C₂⁴×C₆₇	C₄²	1	4	yes	—
43	C₂⁴×C₆₇	C₂×C₈	1	8	yes	—
44	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
49	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
50	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
51	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
53	C₂²×C₄×C₆₇	C₄²	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄×C₆₇	C₄²	1	8	yes	—
55	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
56	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
62	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
63	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	32	yes	complemented
64	C₄²×C₆₇	—	2	8	no	—
65	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
66	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
67	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
69	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
70	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
71	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂³×C₆₇	—	4	16	no	—
73	C₂³×C₆₇	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
74	C₂³×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
75	C₂³×C₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
76	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	8	yes	—
77	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	4	yes	—
78	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
87	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
88	C₂×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
89	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	16	yes	—
92	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
94	C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
95	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₆₇	—	2	16	no	—
99	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
102	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
103	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
104	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₆₇	#518	1	2	yes	—
106	C₂²×C₆₇	C₂³×C₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
108	C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
109	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₄×C₆₇	#518	1	4	yes	—
112	#20523	—	67	1	no	maximal, Sylow
113	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
115	C₂×C₆₇	#2273	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₆₇	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₆₇	#2873	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₆₇	#2972	1	4	yes	—
119	C₂²×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
120	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
121	C₈×C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
122	C₄×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
123	C₆₇	#20523	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
124	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₈	—	67	4	no	—
126	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₆₇	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
131	C₂×C₄×C₈	—	67	8	no	—
132	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₆₇	1	4	yes	—
133	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
134	C₂×#95	Dic₆₇	1	2	yes	—
135	#336	—	67	8	no	—
136	C₂⁵	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	—	268	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	67	16	no	—
146	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₆₇⋊C₈	1	16	yes	complemented
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
152	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
154	C₄×C₈	—	268	8	no	—
155	#95	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	2	no	—
158	C₂⁴	C₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
159	C₂⁴	C₂×C₆₇⋊C₈	1	8	yes	—
160	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	C₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₄×Dic₆₇	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	1	16	yes	complemented
172	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₈	—	268	16	no	—
180	C₂×C₈	—	67	16	no	—
181	C₂×C₈	—	134	16	no	—
182	C₂²⋊C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	1	32	yes	complemented
183	C₄²	—	2	8	no	—
184	C₄²	—	4	4	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	4	4	no	—
191	C₂³	—	4	16	no	—
192	C₂³	C₄×C₆₇⋊C₈	1	16	yes	complemented
193	C₂³	C₂×C₄×Dic₆₇	1	2	yes	—
194	C₂³	C₂×C₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
195	C₂³	C₂²×C₆₇⋊C₈	1	8	yes	—
196	C₂³	C₂²×C₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
197	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	16	no	—
208	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₆₇	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂²×C₆₇⋊C₈	1	16	yes	—
211	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	#14524088	1	4	yes	—
213	C₈	—	134	16	no	—
214	C₂²	—	2	4	no	—
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	—	2	8	no	—
217	C₂²	—	2	16	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	4	no	—
220	C₂²	—	4	16	no	—
221	C₂²	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	1	8	yes	—
222	C₂²	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
223	C₂²	C₂²×C₄×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	#16863871	1	2	yes	—
225	C₂²	C₂³×C₆₇⋊C₈	1	2	yes	—
226	C₂²	#16864163	1	2	yes	—
227	C₄	—	2	2	no	—
228	C₄	—	2	4	no	—
229	C₄	—	2	16	no	—
230	C₄	#16863869	1	4	yes	—
231	C₂	—	2	4	no	—
232	C₂	—	2	8	no	—
233	C₂	#22562562	1	1	yes	characteristic
234	C₂	C₂²×C₄×C₆₇⋊C₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#22568628	1	1	yes	characteristic
236	C₂	#22569233	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂×C₆₇	C₂²×C₄×C₈
Fitting	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20523
LCS	G ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²⋊C₄×C₆₇⋊C₈	C₂	semidirect
3. C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	semidirect
6. C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	semidirect
9. C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	semidirect
10. #16863151	C₂²	semidirect
18. C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
21. C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	semidirect
31. C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₈	semidirect
55. C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	semidirect
63. C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₈	semidirect
73. C₂³×C₆₇	C₄×C₈	semidirect
123. C₆₇	#20523	semidirect
147. C₂×C₂²⋊C₄	C₆₇⋊C₈	semidirect
171. C₂²×C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	semidirect
182. C₂²⋊C₄	C₂×C₆₇⋊C₈	semidirect
192. C₂³	C₄×C₆₇⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₂²⋊C₄×C₆₇⋊C₈	2
C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	2
#20523	67