Subgroups — #30854753

Order 17152.

1146 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₂₆₈	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄²×D₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22560076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22560062	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22559984	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22559970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#336×D₆₇	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₆₇×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₈×D₆₇	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×D₂₆₈	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄²×D₆₇	C₂²	1	2	yes	—
13	C₈×D₂₆₈	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#14523954	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14523953	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
21	C₄×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863151	C₂²	1	2	yes	—
23	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄³×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#336×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#336×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂×C₈×D₆₇	—	4	4	no	—
34	C₂×C₈×D₆₇	—	4	4	no	—
35	C₂×C₈×D₆₇	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
36	C₄×D₂₆₈	—	2	8	no	—
37	C₄×D₂₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
44	C₄²×D₆₇	—	4	4	no	—
45	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
47	#14523954	—	4	2	no	—
48	#14523953	—	4	4	no	—
49	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×D₂₆₈	C₄²	1	4	yes	—
61	C₂×D₂₆₈	M₁₆	1	8	yes	—
62	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×D₆₇	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×D₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₈×D₆₇	—	4	16	no	—
75	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
76	C₄⋊Dic₆₇	C₄²	1	4	yes	—
77	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
78	(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
79	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
80	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
87	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₄²×C₆₇	—	2	1	no	—
95	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
96	C₄²×C₆₇	—	2	1	no	—
97	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
103	C₂²×D₆₇	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄²	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
119	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
121	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
122	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄²	1	4	yes	—
124	D₂₆₈	#97	1	16	yes	complemented
125	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
126	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
127	C₄×D₆₇	—	4	16	no	—
128	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
129	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
130	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₆₇	#520	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
135	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
136	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
137	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
138	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
139	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂×D₆₇	C₂×#97	1	8	yes	—
141	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
142	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
143	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
144	C₄×C₆₇	C₂×#97	1	4	yes	—
145	C₄×C₆₇	#518	1	2	yes	—
146	C₄×C₆₇	#520	1	2	yes	—
147	Dic₆₇	—	2	4	no	—
148	Dic₆₇	—	4	4	no	—
149	#20558	—	67	1	no	maximal, Sylow
150	C₂×C₆₇	#2275	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₆₇	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₆₇	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₆₇	#2974	1	2	yes	—
154	C₂×C₆₇	#2990	1	2	yes	—
155	D₆₇	—	2	8	no	—
156	C₂×C₈×D₄	—	67	2	no	—
157	C₄²×D₄	—	67	1	no	—
158	#1770	—	67	2	no	—
159	#1767	—	67	1	no	—
160	#1752	—	67	4	no	—
161	#1749	—	67	2	no	—
162	#1744	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
163	C₂×#336	—	67	2	no	—
164	C₆₇	#20558	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
165	C₂³×C₈	—	67	4	no	—
166	C₂×C₄×D₄	—	67	2	no	—
167	C₂×C₄×D₄	—	67	1	no	—
168	C₂²×C₄²	—	67	2	no	—
169	C₈×D₄	—	67	16	no	—
170	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
172	C₂×#97	—	67	4	no	—
173	C₂×#97	—	67	2	no	—
174	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
175	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
176	C₄×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
177	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
178	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
179	C₄³	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
180	#336	—	67	4	no	—
181	#336	—	67	2	no	—
182	#336	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
183	#336	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
184	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
187	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	268	4	no	—
189	C₂²×C₈	—	268	4	no	—
190	C₂²×C₈	—	67	16	no	—
191	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
192	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
194	C₄×D₄	—	67	8	no	—
195	C₄×D₄	—	134	8	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	268	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
203	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
210	#97	—	268	2	no	—
211	#97	—	268	4	no	—
212	C₄×C₈	C₄×D₆₇	1	8	yes	complemented
213	#95	—	67	4	no	—
214	#95	—	67	2	no	—
215	C₂⁴	—	67	2	no	—
216	C₂×D₄	—	67	4	no	—
217	C₂×D₄	—	67	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	268	16	no	—
237	C₂×C₈	—	67	8	no	—
238	C₂×C₈	—	134	4	no	—
239	C₂×C₈	—	134	4	no	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	268	4	no	—
252	C₄²	—	134	4	no	—
253	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
254	C₂³	—	67	4	no	—
255	C₂³	—	67	8	no	—
256	C₂³	—	134	2	no	—
257	C₂³	—	134	2	no	—
258	C₂³	—	134	4	no	—
259	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	67	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	268	16	no	—
268	C₂×C₄	—	67	4	no	—
269	C₂×C₄	—	134	4	no	—
270	C₂×C₄	—	134	4	no	—
271	C₂×C₄	—	134	4	no	—
272	C₂×C₄	—	134	2	no	—
273	C₂×C₄	—	134	2	no	—
274	C₂×C₄	—	134	8	no	—
275	C₂×C₄	—	134	8	no	—
276	C₂×C₄	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₄²×D₆₇	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	M₁₆×D₆₇	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#14524049	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#14524089	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#14524090	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	4	no	—
285	C₈	—	2	4	no	—
286	C₈	—	134	8	no	—
287	C₂²	—	67	8	no	—
288	C₂²	—	134	4	no	—
289	C₂²	—	134	8	no	—
290	C₂²	—	134	8	no	—
291	C₂²	—	134	4	no	—
292	C₂²	C₂×C₄²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16863870	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#16863876	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×M₁₆×D₆₇	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×#14524049	1	2	yes	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	4	2	no	—
300	C₄	—	268	4	no	—
301	C₄	—	134	4	no	—
302	C₄	#97×D₆₇	1	4	yes	—
303	C₄	#16863870	1	2	yes	—
304	C₄	#16863876	1	2	yes	—
305	C₂	—	134	8	no	—
306	C₂	#22562571	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂×#97×D₆₇	1	1	yes	characteristic
308	C₂	C₄×#14524049	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#22569243	1	2	yes	—
310	C₂	#22569330	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄²
Fitting	C₆₇×#1744	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1744	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20558
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22560076	C₂	semidirect
4. #22560062	C₂	semidirect
5. #22559984	C₂	semidirect
6. #22559970	C₂	semidirect
7. #336×D₆₇	C₂	semidirect
8. C₆₇×#1744	C₂	semidirect
13. C₈×D₂₆₈	C₄	semidirect
35. C₂×C₈×D₆₇	C₂×C₄	semidirect
45. C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	semidirect
46. (C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
58. C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	semidirect
124. D₂₆₈	#97	semidirect
162. #1744	D₆₇	semidirect
164. C₆₇	#20558	semidirect
212. C₄×C₈	C₄×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₂₆₈	2
C₄²×D₂₆₈	2
#22560076	2
#22560062	2
#22559984	2
#22559970	2
#336×D₆₇	2
C₆₇×#1744	2
#20558	67