Subgroups — #30855199

Order 17152.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863419	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16863359	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22560192	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22559903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11761612	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524000	—	2	8	no	—
10	C₂×#14524000	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#14524000	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16863419	—	2	8	no	—
16	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#16863359	—	2	8	no	—
18	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
19	#16863151	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂⁴×D₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
27	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₆₇	D₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄×D₆₇	Q₈	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
33	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
34	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
36	#14524000	—	2	16	no	—
37	#14524000	—	2	16	no	—
38	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
39	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
45	Dic₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
46	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	16	no	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
57	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
58	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
59	C₂³×D₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
62	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
63	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
64	C₂²×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
65	C₂²×Dic₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
71	C₂×C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
72	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₆₇	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
75	C₂×C₄×D₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×D₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
77	#11761612	—	4	8	no	—
78	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
81	Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
82	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
83	C₄×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
84	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
85	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
96	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
105	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
131	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
134	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
135	C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
136	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
137	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₆₇	#380	1	4	yes	—
142	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	#568	1	4	yes	—
146	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
147	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
148	C₂×D₆₇	—	4	16	no	—
149	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
150	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
151	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
152	C₄×C₆₇	#380	1	4	yes	—
153	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	2	yes	—
154	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
155	Dic₆₇	—	2	8	no	—
156	Dic₆₇	—	2	4	no	—
157	#20627	—	67	1	no	maximal, Sylow
158	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂×C₆₇	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₆₇	#2879	1	2	yes	—
161	C₂×C₆₇	#2905	1	2	yes	—
162	C₂×C₆₇	#2921	1	2	yes	—
163	D₆₇	—	4	4	no	—
164	C₂²×#117	—	67	1	no	—
165	C₂×#423	—	67	2	no	—
166	C₂×#407	—	67	2	no	—
167	#1798	—	67	8	no	—
168	#1728	—	67	1	no	—
169	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₆₇	#20627	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
171	C₂⁴×C₄	—	67	1	no	—
172	C₂²×M₁₆	—	67	2	no	—
173	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
174	C₂×#117	—	67	4	no	—
175	C₂×#117	—	67	4	no	—
176	C₂×#117	—	134	8	no	—
177	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
178	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
179	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
180	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
181	#423	—	134	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
183	#407	—	134	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
185	#336	—	67	4	no	—
186	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	complemented
187	C₂⁵	—	67	1	no	—
188	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
189	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
190	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
191	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
192	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
193	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
194	C₂³×C₄	—	134	4	no	—
195	C₂³×C₄	—	134	4	no	—
196	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
197	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
199	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
200	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
202	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
203	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
205	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
206	#117	—	134	16	no	—
207	#117	—	134	16	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	67	8	no	—
215	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
216	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	—	134	16	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	134	16	no	—
220	C₂⁴	—	268	4	no	—
221	C₂⁴	—	67	4	no	—
222	C₂⁴	—	67	2	no	—
223	C₂⁴	—	134	2	no	—
224	C₂⁴	—	134	2	no	—
225	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	M₁₆	—	4	8	no	—
252	M₁₆	—	268	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	134	4	no	—
257	C₂×C₈	—	134	4	no	—
258	C₂×C₈	—	134	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	67	8	no	—
264	C₄²	—	67	8	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	268	8	no	—
267	C₂³	—	268	8	no	—
268	C₂³	—	268	8	no	—
269	C₂³	—	67	4	no	—
270	C₂³	—	134	8	no	—
271	C₂³	—	134	2	no	—
272	C₂³	—	134	2	no	—
273	C₂³	—	134	8	no	—
274	C₂³	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
275	C₂³	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
276	C₂³	#14524000	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	268	8	no	—
282	C₂×C₄	—	67	8	no	—
283	C₂×C₄	—	67	4	no	—
284	C₂×C₄	—	134	8	no	—
285	C₂×C₄	—	134	2	no	—
286	C₂×C₄	—	134	2	no	—
287	C₂×C₄	—	134	8	no	—
288	C₂×C₄	—	134	16	no	—
289	C₂×C₄	—	134	8	no	—
290	C₂×C₄	—	134	8	no	—
291	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#14524000	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#14524016	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	#14524021	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
300	C₈	—	4	4	no	—
301	C₈	—	268	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	268	16	no	—
306	C₂²	—	268	4	no	—
307	C₂²	—	268	4	no	—
308	C₂²	—	134	4	no	—
309	C₂²	—	134	8	no	—
310	C₂²	#16863255	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#14524000	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16864162	1	4	yes	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	134	4	no	—
317	C₄	—	134	8	no	—
318	C₄	#16863255	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×#14524016	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×#14524021	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	—	268	4	no	—
323	C₂	C₂×#16863255	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#22568652	1	2	yes	—
325	C₂	#22568771	1	2	yes	—
326	C₂	#22568845	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
prime radical	C₂⁴×D₆₇	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20627
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863419	C₂	semidirect
4. #22560192	C₂	semidirect
5. #22559903	C₂	semidirect
6. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
16. C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	semidirect
19. #16863151	C₂²	semidirect
22. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
169. #1728	D₆₇	semidirect
170. C₆₇	#20627	semidirect
186. #336	C₂×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524000	2
C₂×#16863419	2
C₂×#16863359	2
#22560192	2
#22559903	2
C₆₇×#1728	2
#20627	67