Subgroups — #30855221

Order 17152.

1498 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#11761628	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863424	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16863364	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22560192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22560188	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16863151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11761628	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₄×#11761628	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₆₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×C₂²⋊D₆₇	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#14524002	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#14524000	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄²×D₆₇	C₂²	1	2	yes	—
17	#16863424	—	2	8	no	—
18	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
19	#16863364	—	2	8	no	—
20	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
21	#16863151	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863151	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
26	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
28	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
29	C₂×#11761628	D₄	1	4	yes	—
30	C₂×#11761628	Q₈	1	4	yes	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊D₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
41	C₄×D₂₆₈	—	2	8	no	—
42	C₄×C₂²⋊D₆₇	—	2	16	no	—
43	#14524002	D₄	1	8	yes	—
44	#14524000	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
51	C₄²×D₆₇	—	2	8	no	—
52	Dic₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
53	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	16	no	—
54	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	#11761628	—	2	16	no	—
66	#11761628	—	2	16	no	—
67	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
68	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
69	C₂×Dic₁₃₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
70	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₆₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊D₆₇	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
76	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×D₆₇	—	4	4	no	—
83	C₂×C₄×D₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
89	C₄⋊Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
90	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
92	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₄×Dic₆₇	—	2	8	no	—
94	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
95	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
108	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
109	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
112	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
119	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	8	yes	—
135	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
141	C₂²⋊D₆₇	—	2	16	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	D₂₆₈	—	2	8	no	—
149	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
150	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
151	C₄×D₆₇	—	4	16	no	—
152	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
153	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
154	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₆₇	#380	1	4	yes	—
160	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
164	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
165	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
166	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
167	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
168	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
169	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
170	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
171	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
172	C₄×C₆₇	#380	1	4	yes	—
173	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	2	yes	—
174	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
175	Dic₆₇	—	2	8	no	—
176	Dic₆₇	—	2	4	no	—
177	#20630	—	67	1	no	maximal, Sylow
178	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
179	C₂×C₆₇	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₆₇	#2880	1	2	yes	—
181	C₂×C₆₇	#2906	1	2	yes	—
182	C₂×C₆₇	#2922	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₆₇	#2923	1	1	yes	characteristic
184	D₆₇	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄×#41	—	67	1	no	—
186	C₂×#424	—	67	2	no	—
187	C₂×#408	—	67	2	no	—
188	#1798	—	67	4	no	—
189	#1797	—	67	4	no	—
190	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
191	C₂×#336	—	67	1	no	—
192	C₆₇	#20630	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂²×#41	—	67	1	no	—
194	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
195	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
196	C₄×#41	—	134	8	no	—
197	C₂×C₄×Q₈	—	67	2	no	—
198	C₂×C₄×D₄	—	67	4	no	—
199	C₂×C₄×D₄	—	67	2	no	—
200	C₂×#117	—	67	1	no	—
201	C₂×#117	—	67	2	no	—
202	C₂²×C₄²	—	67	2	no	—
203	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
204	#424	—	134	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
206	#408	—	134	8	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
208	#336	—	67	2	no	—
209	#336	—	67	2	no	—
210	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
211	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
212	C₂×#41	—	67	4	no	—
213	C₂×#41	—	67	4	no	—
214	C₂×#41	—	134	4	no	—
215	C₂×#41	—	134	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	67	1	no	—
217	C₂²×D₄	—	67	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
219	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
220	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
221	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
223	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
224	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
225	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
227	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
228	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
229	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
230	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
231	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
232	C₄×D₄	—	134	8	no	—
233	C₄×D₄	—	134	16	no	—
234	#117	—	67	8	no	—
235	#117	—	134	8	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
240	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
243	C₂×C₄²	—	134	8	no	—
244	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
245	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊C₈	—	134	16	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	134	16	no	—
249	C₂⁴	—	67	2	no	—
250	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	#41	—	134	16	no	—
252	#41	—	134	16	no	—
253	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
256	C₂×D₄	—	67	8	no	—
257	C₂×D₄	—	67	4	no	—
258	C₂×D₄	—	134	4	no	—
259	C₂×D₄	—	134	4	no	—
260	C₂×D₄	—	134	2	no	—
261	C₂×D₄	—	134	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
282	M₁₆	—	4	8	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	268	8	no	—
287	C₂×C₈	—	134	4	no	—
288	C₂×C₈	—	134	4	no	—
289	C₂×C₈	—	134	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	67	8	no	—
298	C₄²	—	134	8	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	67	4	no	—
302	C₂³	—	134	2	no	—
303	C₂³	—	134	2	no	—
304	C₂³	—	134	4	no	—
305	C₂³	—	134	4	no	—
306	C₂³	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
307	C₂³	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
308	C₂³	#14524000	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	134	8	no	—
311	D₄	—	134	16	no	—
312	D₄	—	134	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	268	16	no	—
320	C₂×C₄	—	67	8	no	—
321	C₂×C₄	—	67	4	no	—
322	C₂×C₄	—	134	2	no	—
323	C₂×C₄	—	134	2	no	—
324	C₂×C₄	—	134	4	no	—
325	C₂×C₄	—	134	4	no	—
326	C₂×C₄	—	134	8	no	—
327	C₂×C₄	—	134	8	no	—
328	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#14524000	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#14524016	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#14524021	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#14524051	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	—	268	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	268	2	no	—
345	C₂²	—	268	2	no	—
346	C₂²	—	268	4	no	—
347	C₂²	—	134	4	no	—
348	C₂²	—	134	8	no	—
349	C₂²	#16863255	1	4	yes	—
350	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#14524000	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#14524051	1	2	yes	—
354	C₂²	#16864162	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	134	4	no	—
358	C₄	—	134	8	no	—
359	C₄	#16863255	1	4	yes	—
360	C₄	C₂×#14524016	1	2	yes	—
361	C₄	C₂×#14524021	1	2	yes	—
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	—	268	4	no	—
364	C₂	C₂×#16863255	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22568659	1	2	yes	—
366	C₂	#22568778	1	2	yes	—
367	C₂	#22568854	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#22568861	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
prime radical	C₂²×#11761628	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20630
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863424	C₂	semidirect
4. #22560192	C₂	semidirect
5. #22560188	C₂	semidirect
6. C₂×#16863151	C₂	semidirect
7. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
190. #1728	D₆₇	semidirect
192. C₆₇	#20630	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#11761628	2
C₂×#16863424	2
C₂×#16863364	2
#22560192	2
#22560188	2
C₂×#16863151	2
C₆₇×#1728	2
#20630	67