Subgroups — #30856366

Order 17152.

982 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22562616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22560368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22560336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22560236	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×#14523976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₆₇×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524002	—	2	1	no	—
10	C₂×#14523976	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16863266	C₂²	1	2	yes	—
16	#16863262	—	2	1	no	—
17	#16863256	—	2	1	no	—
18	#16863256	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	#16863158	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#117×C₆₇	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#384×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
25	#382×C₆₇	—	2	1	no	—
26	#380×C₆₇	—	2	1	no	—
27	#380×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
29	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	#14524002	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
40	#14523976	—	2	16	no	—
41	C₄×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₄×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₄×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
45	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#117×C₆₇	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₆₇	Q₈	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
62	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
63	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
66	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₆₇⋊C₈	#41	1	8	yes	—
69	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
70	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
71	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
73	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
74	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	D₈	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
91	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
94	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
95	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
106	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	#107	1	16	yes	complemented
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	#135	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	4	yes	—
129	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
132	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
133	C₆₇⋊C₈	#117	1	8	yes	complemented
134	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
139	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₆₇	#532	1	2	yes	—
141	C₂²×C₆₇	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	2	yes	—
144	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
145	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
146	C₄×C₆₇	—	8	4	no	—
147	C₄×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
148	C₄×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
149	C₄×C₆₇	#427	1	4	yes	—
150	C₄×C₆₇	C₂×#117	1	2	yes	—
151	C₄×C₆₇	#533	1	2	yes	—
152	Dic₆₇	—	8	4	no	—
153	#20817	—	67	1	no	maximal, Sylow
154	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
155	C₂×C₆₇	#2285	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₆₇	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₆₇	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₆₇	#3169	1	2	yes	—
159	C₂×C₆₇	#3170	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄×C₈	—	67	1	no	—
161	#2285	—	67	1	no	—
162	#2285	D₆₇	1	1	yes	characteristic
163	#1845	—	67	2	no	—
164	#1834	—	67	2	no	—
165	#1808	—	67	4	no	—
166	C₄×#107	—	67	4	no	—
167	C₆₇	#20817	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
168	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
169	C₂×#117	—	2	1	no	—
170	C₂×#117	—	134	1	no	—
171	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
172	C₂×#107	—	67	8	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	67	8	no	—
174	C₂×C₄×C₈	—	67	1	no	—
175	C₂×C₄×C₈	—	67	1	no	—
176	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
177	#384	—	67	2	no	—
178	#384	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
179	#382	—	2	1	no	—
180	#382	—	134	1	no	—
181	#380	—	2	1	no	—
182	#380	—	67	2	no	—
183	#380	—	134	1	no	—
184	#380	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
187	C₄×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
188	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
189	#340	—	67	8	no	—
190	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
194	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
195	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
196	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
197	#117	—	4	4	no	—
198	#117	—	268	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
209	C₂×C₄²	Dic₁₃₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
215	#107	—	134	16	no	—
216	C₄×C₈	—	67	4	no	—
217	C₄×C₈	—	67	8	no	—
218	C₄×C₈	—	67	4	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	#95	—	134	2	no	—
222	#95	—	134	2	no	—
223	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
228	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#11761613	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#11761618	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	—	67	4	no	—
241	C₂×C₈	—	67	8	no	—
242	C₂×C₈	—	67	4	no	—
243	C₂×C₈	—	134	16	no	—
244	C₂×C₈	—	134	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	268	4	no	—
255	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×#11761613	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#11761618	1	2	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	268	4	no	—
276	C₂×C₄	—	268	4	no	—
277	C₂×C₄	—	268	4	no	—
278	C₂×C₄	#14523976	1	16	yes	complemented
279	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#11761613	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#11761613	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#14524063	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#41×D₆₇	1	4	yes	—
292	C₈	—	67	8	no	—
293	C₈	—	134	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	C₂×#14523976	1	4	yes	—
299	C₂²	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#16863942	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂²×#11761613	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂²×#11761618	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#14524063	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	8	4	no	—
307	C₄	—	536	4	no	—
308	C₄	C₂×#14523976	1	4	yes	—
309	C₄	C₂×#14523976	1	4	yes	—
310	C₄	#16863432	1	4	yes	—
311	C₄	#117×D₆₇	1	2	yes	—
312	C₄	#16863949	1	2	yes	—
313	C₂	—	2	4	no	—
314	C₂	#22562612	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂²×#14523976	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#16863432	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#22570784	1	2	yes	—
318	C₂	#22570791	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#2285	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2285	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20817
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2285

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22560368	C₂	semidirect
4. #22560336	C₂	semidirect
6. C₄×#14523976	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₄	semidirect
115. C₂×C₄×C₆₇	#107	semidirect
133. C₆₇⋊C₈	#117	semidirect
167. C₆₇	#20817	semidirect
278. C₂×C₄	#14523976	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₆₇⋊C₈	2
#22562616	2
#22560368	2
#22560336	2
#22560236	2
C₄×#14523976	2
C₆₇×#2285	2
#20817	67