Subgroups — #30856494

Order 17152.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₆₇⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16863360	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22560389	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22559906	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₆₇×#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11761612	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11761612	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
10	C₂³×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
11	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#16863423	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	8	yes	complemented
15	#16863360	—	2	4	no	—
16	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
17	#16863151	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
20	#381×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
21	#380×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
22	#379×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#11761612	—	2	2	no	—
25	C₂×#11761612	—	2	2	no	—
26	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
27	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	32	no	—
29	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
34	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	16	no	—
38	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
39	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄×C₆₇	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#117×C₆₇	—	2	4	no	—
49	#117×C₆₇	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
54	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	#11761612	—	4	4	no	—
56	#11761612	—	4	4	no	—
57	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	32	no	—
58	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
59	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
66	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
67	C₂⁴×C₆₇	—	2	8	no	—
68	C₂⁴×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
69	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
93	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	2	32	no	—
96	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₆₇	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₆₇	#131	1	8	yes	—
105	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	#120	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
124	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
125	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
126	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₆₇	—	2	32	no	—
128	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₆₇	—	2	16	no	—
132	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₆₇	#385	1	4	yes	—
134	C₂²×C₆₇	#424	1	8	yes	complemented
135	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	4	yes	—
138	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
139	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
140	C₄×C₆₇	#385	1	4	yes	—
141	C₄×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
142	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
144	#20834	—	67	1	no	maximal, Sylow
145	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
147	C₂×C₆₇	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₆₇	C₂×#424	1	2	yes	—
149	C₂×C₆₇	#2929	1	4	yes	—
150	C₂⁴×C₈	—	67	1	no	—
151	C₂×#424	—	67	2	no	—
152	C₂×#407	—	67	1	no	—
153	#2280	D₆₇	1	1	yes	characteristic
154	#1850	—	67	8	no	—
155	#1729	—	67	2	no	—
156	C₆₇	#20834	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
157	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
159	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
160	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
161	C₂³×C₈	—	67	4	no	—
162	C₂³×C₈	—	134	8	no	—
163	C₂³×C₈	—	134	4	no	—
164	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
165	#424	—	134	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
167	#407	—	134	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
169	#381	Dic₆₇	1	2	yes	—
170	#380	Dic₆₇	1	4	yes	—
171	#379	Dic₆₇	1	2	yes	—
172	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
173	#336	—	67	8	no	—
174	C₂⁵	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂³×C₄	Dic₁₃₄	1	4	yes	—
178	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	4	yes	—
179	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
180	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
181	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
182	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
183	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
184	C₂×M₁₆	—	134	2	no	—
185	C₂×M₁₆	—	134	2	no	—
186	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
188	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
189	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
190	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
191	C₂²×C₈	—	134	16	no	—
192	C₂²×C₈	—	134	32	no	—
193	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
194	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
195	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
196	#117	—	2	4	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
202	C₄⋊C₈	—	134	16	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
204	#95	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	8	no	—
207	C₂⁴	C₄⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	268	4	no	—
230	M₁₆	—	268	4	no	—
231	C₂×C₈	—	67	8	no	—
232	C₂×C₈	—	134	4	no	—
233	C₂×C₈	—	134	2	no	—
234	C₂×C₈	—	134	2	no	—
235	C₂×C₈	—	134	4	no	—
236	C₂×C₈	—	134	32	no	—
237	C₂×C₈	—	134	16	no	—
238	C₂×C₈	—	134	4	no	—
239	C₂×C₈	—	134	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	32	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
253	C₂³	D₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
254	C₂³	#14524050	1	8	yes	—
255	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	D₄×Dic₆₇	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#14524013	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#14524020	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#14524027	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	2	yes	—
274	C₈	—	268	2	no	—
275	C₈	—	268	2	no	—
276	C₈	—	134	8	no	—
277	C₂²	—	2	32	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	8	no	—
282	C₂²	—	2	16	no	—
283	C₂²	#16863271	1	4	yes	—
284	C₂²	#16863423	1	8	yes	complemented
285	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×D₄×Dic₆₇	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×#14524050	1	4	yes	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	4	8	no	—
290	C₄	#16863271	1	4	yes	—
291	C₄	C₂×#14524013	1	1	yes	characteristic
292	C₄	C₂×#14524020	1	2	yes	—
293	C₄	C₂×#14524027	1	1	yes	characteristic
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	2	8	no	—
296	C₂	C₂×#16863271	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#16863423	1	2	yes	—
298	C₂	#22568904	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#2280	C₂
prime radical	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2280	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#20834
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2280

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863423	C₂	semidirect
4. #22560389	C₂	semidirect
5. #22559906	C₂	semidirect
14. C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	semidirect
17. #16863151	C₂²	semidirect
134. C₂²×C₆₇	#424	semidirect
156. C₆₇	#20834	semidirect
284. C₂²	#16863423	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₆₇⋊C₈	2
C₂×#16863423	2
C₂×#16863360	2
#22560389	2
#22559906	2
C₆₇×#2280	2
#20834	67