Subgroups — C₂×#22561070 #30859641

Order 17152.

1614 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#14523977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#14523968	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#16863302	C₂	1	2	yes	maximal
5	#22561070	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×C₄×C₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
9	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
10	C₂²×Dic₂₆₈	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#14523977	—	2	4	no	—
14	C₂×#14523977	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#14523968	—	2	8	no	—
16	C₂×#14523968	C₂²	1	8	yes	—
17	#16863302	—	2	4	no	—
18	#16863302	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
20	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
26	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
27	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
34	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
35	C₂×Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
36	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
37	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
38	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
43	#14523977	—	2	8	no	—
44	#14523968	—	2	16	no	—
45	C₆₇⋊#95	—	2	16	no	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
60	C₄×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
61	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
62	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
63	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
64	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
65	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
66	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
67	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
68	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
69	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
70	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
72	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
73	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
75	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
78	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
79	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
80	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
81	Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
82	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
83	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
84	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
85	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	1	8	yes	complemented
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
99	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
102	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
107	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₆₇	#121	1	2	yes	—
111	C₂³×C₆₇	#127	1	2	yes	—
112	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
113	C₂³×C₆₇	#135	1	4	yes	—
114	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	8	yes	complemented
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
133	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
134	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
135	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
136	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
137	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
138	C₂×Dic₆₇	—	8	8	no	—
139	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
140	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
141	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
142	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
143	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
144	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
145	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂²×C₆₇	#390	1	4	yes	—
147	C₂²×C₆₇	C₄×Q₁₆	1	8	yes	—
148	C₂²×C₆₇	#467	1	8	yes	—
149	C₂²×C₆₇	#494	1	4	yes	—
150	C₂²×C₆₇	#495	1	4	yes	—
151	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
155	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	2	yes	—
156	C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
157	C₄×C₆₇	#390	1	4	yes	—
158	C₄×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
162	Dic₆₇	—	4	8	no	—
163	Dic₆₇	—	8	4	no	—
164	C₂×#1969	—	67	1	no	maximal, Sylow
165	C₂×C₆₇	#1969	1	8	yes	complemented
166	C₂×C₆₇	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₆₇	C₂×C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
168	C₂×C₆₇	C₂×#467	1	2	yes	—
169	C₂×C₆₇	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₆₇	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
171	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
172	C₂²×#107	—	67	1	no	—
173	C₂²×#103	—	67	2	no	—
174	C₂²×C₄×C₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂×#391	—	67	2	no	—
176	#1969	—	67	8	no	—
177	C₆₇	C₂×#1969	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
178	C₂³×Q₈	—	67	2	no	—
179	C₂²×Q₁₆	—	67	8	no	—
180	C₂²×Q₁₆	—	67	4	no	—
181	C₂²×Q₁₆	—	134	4	no	—
182	C₂²×Q₁₆	—	134	4	no	—
183	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
184	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
186	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₂×#107	—	67	4	no	—
188	C₂×#107	—	134	4	no	—
189	C₂×#103	—	67	8	no	—
190	C₂×#103	—	134	8	no	—
191	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
193	#391	—	67	8	no	—
194	#391	—	134	4	no	—
195	C₂×#95	—	134	4	no	—
196	C₂²×Q₈	—	67	8	no	—
197	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
198	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
199	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
200	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
201	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
202	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
203	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
204	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
205	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
206	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
207	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
208	C₂×Q₁₆	—	67	16	no	—
209	C₂×Q₁₆	—	134	32	no	—
210	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
211	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
212	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
215	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
217	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
218	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
224	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
228	#107	—	134	8	no	—
229	#103	—	134	16	no	—
230	C₄×C₈	—	2	8	no	—
231	#95	—	134	16	no	—
232	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
255	C₂²×C₄	Dic₂₆₈	1	8	yes	complemented
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#11761628	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#11761628	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
265	Q₁₆	—	134	32	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	16	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₂³	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
281	C₂³	#14524017	1	2	yes	—
282	C₂³	#14524040	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×Dic₂₆₈	1	4	yes	—
284	C₂³	#14524065	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	268	16	no	—
287	Q₈	—	268	4	no	—
288	Q₈	—	268	4	no	—
289	Q₈	—	134	8	no	—
290	Q₈	—	134	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	268	16	no	—
295	C₂×C₄	—	268	4	no	—
296	C₂×C₄	—	268	4	no	—
297	C₂×C₄	—	268	8	no	—
298	C₂×C₄	—	268	4	no	—
299	C₂×C₄	—	536	8	no	—
300	C₂×C₄	—	134	8	no	—
301	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#14524017	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#14524017	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#14524031	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#14524040	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×Dic₂₆₈	1	8	yes	complemented
309	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	8	yes	—
317	C₂²	#16863298	1	4	yes	—
318	C₂²	C₄×Dic₂₆₈	1	8	yes	—
319	C₂²	#16863637	1	8	yes	—
320	C₂²	#16863776	1	4	yes	—
321	C₂²	#16863780	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#14524017	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#14524040	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×Dic₂₆₈	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#14524065	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	8	no	—
328	C₄	—	268	8	no	—
329	C₄	—	536	4	no	—
330	C₄	#16863298	1	4	yes	—
331	C₄	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#14524017	1	1	yes	characteristic
334	C₄	C₂×#14524031	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#22561070	1	8	yes	direct product factor
336	C₂	C₂×#16863298	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×C₄×Dic₂₆₈	1	2	yes	—
338	C₂	C₂×#16863637	1	2	yes	—
339	C₂	C₂×#16863776	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#16863780	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₂²×C₄×C₈×C₆₇	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄×C₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#1969
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #22561070	C₂	direct (N × H)
10. C₂²×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
38. C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	semidirect
88. C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	semidirect
125. C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	semidirect
165. C₂×C₆₇	#1969	semidirect
177. C₆₇	C₂×#1969	semidirect
255. C₂²×C₄	Dic₂₆₈	semidirect
308. C₂×C₄	C₂×Dic₂₆₈	semidirect
335. C₂	#22561070	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂²×#14523977	2
C₂²×#14523968	2
C₂×#16863302	2
#22561070	2
C₂²×C₄×C₈×C₆₇	2
C₂×#1969	67

Subgroups — C2×#22561070 #30859641

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22561070 #30859641