Subgroups — #30859715

Order 17152.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16863406	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22562793	C₂	1	2	yes	maximal
5	#22561080	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22561070	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#405×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
10	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
11	C₂²×Dic₂₆₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#14524002	C₂²	1	2	yes	—
15	#16863434	—	2	4	no	—
16	C₂×#14523977	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14523975	C₂²	1	2	yes	—
18	#16863406	—	2	8	no	—
19	C₂×#14523968	C₂²	1	8	yes	—
20	#16863302	C₂²	1	8	yes	—
21	#16863301	—	2	4	no	—
22	#16863257	—	2	4	no	—
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#405×C₆₇	—	2	4	no	—
27	C₂×#97×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
34	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
38	C₂×Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
39	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
40	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
41	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#14524002	—	2	4	no	—
46	#14524002	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
50	#14523977	—	2	4	no	—
51	#14523975	—	2	4	no	—
52	#14523968	—	2	16	no	—
53	C₆₇⋊#95	—	2	16	no	—
54	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#117×C₆₇	—	2	2	no	—
65	#117×C₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
69	#97×C₆₇	—	2	4	no	—
70	C₄×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
72	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
73	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
76	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
77	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
78	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
79	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
80	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
81	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
82	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
83	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
88	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
89	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
90	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
91	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
93	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
94	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
95	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	M₁₆×C₆₇	—	2	8	no	—
106	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
109	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
119	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₆₇	#121	1	2	yes	—
123	C₂³×C₆₇	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
141	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
146	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
147	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
148	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
149	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
150	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
151	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
152	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	#390	1	4	yes	—
158	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₆₇	#578	1	4	yes	—
162	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
163	C₄×C₆₇	#390	1	4	yes	—
164	C₄×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
168	Dic₆₇	—	4	8	no	—
169	Dic₆₇	—	8	4	no	—
170	#21232	—	67	1	no	maximal, Sylow
171	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
172	C₂×C₆₇	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₆₇	#2950	1	2	yes	—
174	C₂×C₆₇	#3059	1	2	yes	—
175	C₂×C₆₇	#3156	1	2	yes	—
176	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
177	C₂×#427	—	67	1	no	—
178	C₂×#419	—	67	2	no	—
179	C₂×#405	D₆₇	1	1	yes	characteristic
180	#2310	—	67	2	no	—
181	#1971	—	67	4	no	—
182	#1969	—	67	4	no	—
183	C₆₇	#21232	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
184	C₂³×Q₈	—	67	2	no	—
185	C₂²×Q₁₆	—	67	8	no	—
186	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
187	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
188	C₂²×Q₁₆	—	134	4	no	—
189	C₂²×Q₁₆	—	134	4	no	—
190	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂×#117	—	67	2	no	—
193	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
194	#427	—	134	4	no	—
195	C₂×#107	—	67	2	no	—
196	C₂×#106	—	67	2	no	—
197	#419	—	134	8	no	—
198	C₂×#103	—	67	8	no	—
199	#405	—	2	4	no	—
200	C₂×#97	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
201	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
202	#391	—	67	8	no	—
203	#391	—	134	4	no	—
204	#381	—	134	4	no	—
205	C₂²×Q₈	—	67	8	no	—
206	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
207	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
208	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
209	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
210	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
212	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
216	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
217	C₂×Q₁₆	—	134	32	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
220	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
223	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
224	C₂×M₁₆	D₂₆₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
226	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
228	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
229	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
231	#117	—	2	2	no	—
232	#117	—	2	2	no	—
233	#117	—	134	4	no	—
234	#117	—	134	4	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
240	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
241	#107	—	134	4	no	—
242	#106	—	134	4	no	—
243	#103	—	134	16	no	—
244	#97	—	2	4	no	—
245	C₄×C₈	—	2	4	no	—
246	#95	—	134	16	no	—
247	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#11761628	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#11761628	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
275	Q₁₆	—	134	16	no	—
276	Q₁₆	—	134	16	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	16	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	268	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
298	C₂³	#14524017	1	2	yes	—
299	C₂³	#14524040	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	268	16	no	—
302	Q₈	—	268	4	no	—
303	Q₈	—	268	4	no	—
304	Q₈	—	134	8	no	—
305	Q₈	—	134	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	268	16	no	—
309	C₂×C₄	—	268	4	no	—
310	C₂×C₄	—	268	4	no	—
311	C₂×C₄	—	268	4	no	—
312	C₂×C₄	—	268	8	no	—
313	C₂×C₄	—	134	8	no	—
314	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#14524017	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#14524017	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#14524031	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#14524040	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
329	C₈	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	#16863298	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#14524017	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#14524040	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16864213	1	4	yes	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	268	8	no	—
340	C₄	—	536	4	no	—
341	C₄	#16863298	1	4	yes	—
342	C₄	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×#14524017	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#14524031	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	C₂×#16863298	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#22569078	1	2	yes	—
349	C₂	#22569864	1	2	yes	—
350	C₂	#22570703	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₂×#405×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#405	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21232
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #22561080	C₂	semidirect
6. #22561070	C₂	semidirect
11. C₂²×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
183. C₆₇	#21232	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂×#16863434	2
C₂×#16863406	2
#22562793	2
#22561080	2
#22561070	2
C₂×#405×C₆₇	2
#21232	67