Subgroups — #30860280

Order 17152.

1198 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863949	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×C₈×Dic₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22561143	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22559907	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#22559906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#22559905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₆₇×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11761612	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16863949	—	2	4	no	—
12	#16863949	—	2	4	no	—
13	C₂×#14524042	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#14524034	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#14524020	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#14524002	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16863419	—	2	4	no	—
20	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×Dic₆₇	—	2	4	no	—
22	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	4	yes	—
23	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
24	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
25	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂×#11761612	—	2	2	no	—
33	C₂×#11761612	—	2	2	no	—
34	C₂×#11761612	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
38	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	#14524042	—	2	8	no	—
41	#14524034	—	2	8	no	—
42	#14524020	—	2	16	no	—
43	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
44	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
45	#14524002	—	2	2	no	—
46	#14524002	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
58	Dic₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
59	C₈×Dic₆₇	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₆₇	Q₈	1	4	yes	complemented
67	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
69	#117×C₆₇	—	2	2	no	—
70	#117×C₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
76	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
77	C₂²×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
78	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	#11761612	—	4	4	no	—
82	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
83	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
90	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
91	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
92	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
94	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
95	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
96	C₄×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₄×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	M₁₆×C₆₇	—	4	4	no	—
111	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
112	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈×C₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
120	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₆₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂³×C₆₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₄×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₆₇	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	2	16	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×Dic₆₇	#131	1	8	yes	—
149	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
150	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
152	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	#391	1	4	yes	—
158	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	4	yes	—
162	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
163	C₄×C₆₇	#391	1	4	yes	—
164	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	Dic₆₇	—	2	4	no	—
169	Dic₆₇	—	4	4	no	—
170	Dic₆₇	#408	1	8	yes	—
171	#21300	—	67	1	no	maximal, Sylow
172	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
173	C₂×C₆₇	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₆₇	C₂×#408	1	2	yes	—
175	C₂×C₆₇	#2960	1	2	yes	—
176	C₂×C₆₇	#2960	1	2	yes	—
177	C₂×#533	—	67	1	no	—
178	C₂×#423	—	67	1	no	—
179	C₂²×C₄×C₈	—	67	1	no	—
180	#1984	—	67	8	no	—
181	#1729	—	67	1	no	—
182	#1729	—	67	1	no	—
183	#1729	—	67	1	no	—
184	#1729	D₆₇	1	1	yes	characteristic
185	C₆₇	#21300	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
186	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
187	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
189	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	#533	—	134	4	no	—
191	#533	—	134	4	no	—
192	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	2	no	—
193	C₂×#125	—	67	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊Q₈	—	67	4	no	—
195	C₂×C₄×Q₈	—	67	4	no	—
196	C₂×#117	—	67	1	no	—
197	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
199	#423	—	134	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	67	4	no	—
201	C₂×C₄×C₈	—	67	4	no	—
202	C₂×C₄×C₈	—	134	4	no	—
203	#336	—	67	4	no	—
204	#336	—	67	4	no	—
205	#336	—	67	4	no	—
206	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
207	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
208	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
211	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
213	C₂×M₁₆	—	134	2	no	—
214	C₂×M₁₆	—	134	2	no	—
215	C₂×M₁₆	—	134	2	no	—
216	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
219	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
220	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
221	C₂²×C₈	—	134	2	no	—
222	C₂²×C₈	—	134	2	no	—
223	C₂²×C₈	Dic₁₃₄	1	4	yes	complemented
224	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
225	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
226	C₄⋊Q₈	—	134	8	no	—
227	#125	—	134	8	no	—
228	C₂²⋊Q₈	—	134	16	no	—
229	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
230	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
231	#117	—	2	2	no	—
232	#117	—	2	2	no	—
233	#117	—	134	2	no	—
234	#117	—	134	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	—	67	1	no	—
243	C₂×C₄²	—	67	1	no	—
244	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
245	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
246	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
248	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₈	—	134	8	no	—
250	C₄×C₈	—	134	8	no	—
251	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#11761628	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	268	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	67	4	no	—
277	C₂×C₈	—	134	2	no	—
278	C₂×C₈	—	134	2	no	—
279	C₂×C₈	—	134	2	no	—
280	C₂×C₈	—	134	8	no	—
281	C₂×C₈	—	134	2	no	—
282	C₂×C₈	—	134	2	no	—
283	C₂×C₈	C₂×Dic₁₃₄	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	67	4	no	—
294	C₄²	—	67	4	no	—
295	C₄²	—	67	4	no	—
296	C₄²	—	67	4	no	—
297	C₄²	—	134	2	no	—
298	C₄²	—	134	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
301	C₂³	#14524008	1	2	yes	—
302	C₂³	C₄×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	268	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	67	4	no	—
308	C₂×C₄	—	67	8	no	—
309	C₂×C₄	—	67	4	no	—
310	C₂×C₄	—	134	4	no	—
311	C₂×C₄	—	134	8	no	—
312	C₂×C₄	—	134	16	no	—
313	C₂×C₄	—	134	4	no	—
314	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#14524008	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#14524020	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#14524021	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#14524029	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#14524042	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	268	2	no	—
330	C₈	—	134	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	#16863300	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#14524008	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#131×D₆₇	1	4	yes	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	268	4	no	—
341	C₄	—	67	8	no	—
342	C₄	—	134	4	no	—
343	C₄	#16863300	1	4	yes	—
344	C₄	C₂×#14524020	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#14524021	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#14524029	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#14524042	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	C₂×#16863300	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#408×D₆₇	1	2	yes	—
351	C₂	#22569141	1	2	yes	—
352	C₂	#22569142	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1729	C₂
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1729	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21300
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1729

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #22561143	C₂	semidirect
37. C₂²×C₆₇⋊C₈	Q₈	semidirect
66. C₂²×C₈×C₆₇	Q₈	semidirect
185. C₆₇	#21300	semidirect
223. C₂²×C₈	Dic₁₃₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863949	2
C₂×#16863419	2
C₂²×C₈×Dic₆₇	2
#22561143	2
#22559907	2
#22559906	2
#22559905	2
C₆₇×#1729	2
#21300	67