Subgroups — #30860425

Order 17152.

1382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524043	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#11761612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22561181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22561169	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22559930	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₆₇×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	—	2	1	no	—
8	C₂²×#11761612	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524043	—	2	4	no	—
10	C₂×#14524043	—	2	1	no	—
11	C₂×#14524043	—	2	1	no	—
12	C₂×#14524043	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#14524043	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#14524043	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#11761612	—	2	4	no	—
18	C₂×#14523954	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	#16863158	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#384×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	#382×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
25	#380×C₆₇	—	2	1	no	—
26	#380×C₆₇	—	2	1	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
33	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
34	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
35	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
36	C₂×#11761612	Q₈	1	8	yes	complemented
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	#14524043	—	2	8	no	—
39	#14524043	—	2	8	no	—
40	#14524043	—	2	4	no	—
41	#14524043	—	2	4	no	—
42	#14524043	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	#14524043	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
51	#14523954	—	2	4	no	—
52	C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#117×C₆₇	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
69	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
70	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
72	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
73	C₂×Dic₁₃₄	—	4	32	no	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
75	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
76	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
78	#11761612	—	2	16	no	—
79	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
82	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
83	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
84	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
85	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
86	C₄⋊Dic₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
105	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
107	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
108	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₆₇	#124	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
119	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₆₇	C₄×Q₈	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₆₇	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₆₇	#137	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
145	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
146	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
147	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₆₇	#391	1	4	yes	—
153	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₆₇	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
157	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	2	yes	—
158	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
159	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
160	C₄×C₆₇	—	8	4	no	—
161	C₄×C₆₇	#391	1	4	yes	—
162	C₄×C₆₇	#418	1	4	yes	—
163	C₄×C₆₇	#419	1	4	yes	—
164	C₄×C₆₇	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
165	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
166	Dic₆₇	—	4	8	no	—
167	#21324	—	67	1	no	maximal, Sylow
168	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
169	C₂×C₆₇	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₆₇	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₆₇	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₆₇	#3141	1	2	yes	—
173	C₂×C₆₇	#3165	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄⋊Q₈	—	67	1	no	—
175	C₂×C₄×M₁₆	—	67	1	no	—
176	#2285	D₆₇	1	1	yes	characteristic
177	#1993	—	67	4	no	—
178	#1990	—	67	4	no	—
179	#1736	—	67	4	no	—
180	C₆₇	#21324	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
181	C₂³×Q₈	—	134	1	no	—
182	C₂²×M₁₆	—	67	2	no	—
183	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	8	no	—
184	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	2	no	—
185	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	2	no	—
186	C₂×C₄⋊Q₈	—	134	4	no	—
187	C₂×C₄⋊Q₈	—	134	1	no	—
188	C₂×C₄⋊Q₈	—	134	1	no	—
189	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
191	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
192	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
193	C₄×M₁₆	—	134	4	no	—
194	C₂×#97	—	67	2	no	—
195	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
196	#384	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
197	#382	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
198	#380	—	2	1	no	—
199	#380	—	2	1	no	—
200	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
202	#340	—	67	16	no	—
203	C₂²×Q₈	—	268	8	no	—
204	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
205	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
206	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
207	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
208	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂×M₁₆	—	67	8	no	—
212	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
213	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
214	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
215	C₄⋊Q₈	—	67	8	no	—
216	C₄⋊Q₈	—	67	8	no	—
217	C₄⋊Q₈	—	134	8	no	—
218	C₄⋊Q₈	—	134	8	no	—
219	C₄⋊Q₈	—	134	4	no	—
220	C₄⋊Q₈	—	134	4	no	—
221	#117	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
235	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	4	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
240	#97	—	134	4	no	—
241	C₄×C₈	—	134	4	no	—
242	#95	—	2	2	no	—
243	#95	—	2	2	no	—
244	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	268	32	no	—
247	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
256	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
268	M₁₆	—	134	16	no	—
269	C₂×C₈	—	67	8	no	—
270	C₂×C₈	—	134	4	no	—
271	C₂×C₈	—	134	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₄²	(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂³	#14524030	1	2	yes	—
292	C₂³	#14524041	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	268	16	no	—
295	Q₈	—	268	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	268	16	no	—
304	C₂×C₄	—	268	8	no	—
305	C₂×C₄	—	134	8	no	—
306	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#14524008	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#14524023	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	#14524030	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#14524041	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#14524068	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#14524073	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	2	yes	—
321	C₈	—	134	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	#16863301	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#14524030	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#14524041	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#14524068	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#14524073	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	—	268	8	no	—
336	C₄	#16863301	1	4	yes	—
337	C₄	#16863400	1	4	yes	—
338	C₄	#16863404	1	4	yes	—
339	C₄	C₂×#14524008	1	2	yes	—
340	C₄	C₂×#14524023	1	2	yes	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	C₂×#16863301	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#16863400	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#16863404	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#22570602	1	2	yes	—
346	C₂	#22570756	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#2285	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2285	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21324
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2285

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22561181	C₂	semidirect
4. #22561169	C₂	semidirect
12. C₂×#14524043	C₄	semidirect
36. C₂×#11761612	Q₈	semidirect
81. C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×Q₈	semidirect
180. C₆₇	#21324	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524043	2
C₂×C₄×#11761612	2
#22561181	2
#22561169	2
#22559930	2
C₆₇×#2285	2
#21324	67