Subgroups — #30863788

Order 17152.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×C₆₇⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16863473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22563492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22561007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#22560816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22560328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#22559989	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#22559897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₆₇×#1985	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11761611	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
13	#16863473	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#14523953	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863335	C₄	1	2	yes	—
23	#16863322	C₄	1	2	yes	—
24	#16863313	C₄	1	2	yes	—
25	#16863307	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	#16863242	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#97×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11761611	—	2	4	no	—
36	C₂×#11761611	—	2	8	no	—
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₄×D₂₆₈	—	2	2	no	—
41	C₄×D₂₆₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
48	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
49	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	4	no	—
50	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	8	no	—
51	#14523953	—	2	4	no	—
52	C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₄×C₆₇⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
54	C₈×Dic₆₇	—	2	4	no	—
55	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
63	C₄×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
69	#97×C₆₇	—	2	2	no	—
70	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	4	2	no	—
73	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
79	#11761611	—	4	8	no	—
80	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₆₇⋊C₈	#41	1	4	yes	—
86	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
87	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
88	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
89	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	4	no	—
90	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
91	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₆₇	#41	1	4	yes	—
104	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₄²×C₆₇	#41	1	2	yes	—
110	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
116	Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
130	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
135	D₂₆₈	—	4	4	no	—
136	C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
137	C₄×D₆₇	—	4	4	no	—
138	C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
139	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
140	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
141	C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
143	C₆₇⋊C₈	#124	1	4	yes	—
144	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	C₄×#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
147	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
148	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
149	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
150	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
151	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
152	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
153	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
154	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
155	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
156	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
157	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₆₇	#529	1	2	yes	—
159	C₄×C₆₇	#532	1	1	yes	characteristic
160	Dic₆₇	—	4	4	no	—
161	Dic₆₇	—	4	2	no	—
162	#21639	—	67	1	no	maximal, Sylow
163	C₂×C₆₇	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₆₇	#2929	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₆₇	#2930	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₆₇	#2969	1	4	yes	—
167	D₆₇	—	8	2	no	—
168	C₂×C₈×Q₈	—	67	1	no	—
169	C₂×#436	—	67	1	no	—
170	#2398	—	67	1	no	—
171	#1985	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
172	#1955	—	67	1	no	—
173	#1923	—	67	4	no	—
174	#1832	—	67	1	no	—
175	#1753	—	67	4	no	—
176	#1726	—	67	1	no	—
177	C₆₇	#21639	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
178	C₂²×M₁₆	—	67	2	no	—
179	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄×D₄	—	67	1	no	—
181	C₈×Q₈	—	134	4	no	—
182	#436	—	134	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
188	C₂×#97	—	67	2	no	—
189	C₂×#97	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄×C₈	—	67	1	no	—
191	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
192	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
193	#400	—	67	2	no	—
194	#397	—	67	2	no	—
195	#394	—	67	2	no	—
196	#393	—	67	2	no	—
197	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
198	#376	—	67	1	no	—
199	#336	—	67	4	no	—
200	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
201	C₂²×Q₈	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
203	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
204	C₂×M₁₆	—	134	8	no	—
205	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
206	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
207	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
208	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
210	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
211	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₄×D₄	—	134	2	no	—
214	C₄×D₄	—	134	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
229	#97	—	2	2	no	—
230	#97	—	134	4	no	—
231	C₄×C₈	—	67	4	no	—
232	C₄×C₈	—	134	4	no	—
233	C₄×C₈	—	134	4	no	—
234	#95	—	67	2	no	—
235	#95	—	67	2	no	—
236	#95	—	67	4	no	—
237	#95	—	67	4	no	—
238	C₂⁴	—	67	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	268	2	no	—
242	C₂×D₄	—	134	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
254	M₁₆	—	268	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	67	2	no	—
260	C₂×C₈	—	67	4	no	—
261	C₂×C₈	—	67	2	no	—
262	C₂×C₈	—	134	2	no	—
263	C₂×C₈	—	134	4	no	—
264	C₂×C₈	—	134	2	no	—
265	C₂×C₈	#11761629	1	4	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	134	2	no	—
275	C₄²	—	134	2	no	—
276	C₄²	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
277	C₄²	#11761627	1	2	yes	—
278	C₂³	—	134	2	no	—
279	C₂³	—	134	4	no	—
280	C₂³	—	134	4	no	—
281	C₂³	—	134	2	no	—
282	C₂³	—	134	2	no	—
283	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	2	8	no	—
285	D₄	—	268	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	268	2	no	—
293	C₂×C₄	—	268	4	no	—
294	C₂×C₄	—	268	2	no	—
295	C₂×C₄	—	134	2	no	—
296	C₂×C₄	—	134	4	no	—
297	C₂×C₄	—	134	4	no	—
298	C₂×C₄	—	134	4	no	—
299	C₂×C₄	—	134	4	no	—
300	C₂×C₄	(C₂²⋊D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	(C₂²⋊D₆₇)⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#14524051	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#41×D₆₇	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	4	2	no	—
309	C₈	—	268	2	no	—
310	C₈	—	67	4	no	—
311	C₈	—	134	2	no	—
312	C₂²	—	268	2	no	—
313	C₂²	—	268	2	no	—
314	C₂²	—	268	2	no	—
315	C₂²	—	268	4	no	—
316	C₂²	—	268	4	no	—
317	C₂²	C₂×(C₂²⋊D₆₇)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₄×#11761629	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#14524051	1	2	yes	—
320	C₂²	#16864161	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	268	2	no	—
326	C₄	—	268	4	no	—
327	C₄	#124×D₆₇	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#16863932	1	2	yes	—
329	C₄	#16863947	1	1	yes	characteristic
330	C₂	—	536	2	no	—
331	C₂	#22562752	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#22568899	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#22568915	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#22569215	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1985	C₂
prime radical	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1985	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21639
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1985

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×C₆₇⋊C₈	C₂	semidirect
5. #22560816	C₂	semidirect
6. #22560328	C₂	semidirect
7. #22559989	C₂	semidirect
8. #22559897	C₂	semidirect
9. C₆₇×#1985	C₂	semidirect
171. #1985	D₆₇	semidirect
177. C₆₇	#21639	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×C₆₇⋊C₈	2
C₂×#16863473	2
#22563492	2
#22561007	2
#22560816	2
#22560328	2
#22559989	2
#22559897	2
C₆₇×#1985	2
#21639	67