Subgroups — #30864752

Order 17152.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#22560507	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#22560280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22560121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#525×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×#11761612	C₂²	1	4	yes	—
7	#16863360	—	2	8	no	—
8	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	8	yes	complemented
11	#16863151	C₂²	1	8	yes	complemented
12	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#525×C₆₇	—	2	8	no	—
15	C₂×#123×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#121×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#120×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#11761612	—	2	8	no	—
22	C₂×#11761612	—	4	8	no	—
23	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
24	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
25	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
26	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	8	no	—
27	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#41×C₆₇	—	2	4	no	—
29	C₂×#41×C₆₇	—	4	4	no	—
30	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
35	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	8	yes	—
38	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
41	#123×C₆₇	—	2	8	no	—
42	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
43	#121×C₆₇	—	2	8	no	—
44	#120×C₆₇	—	2	8	no	—
45	C₄×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
46	C₄×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
47	#117×C₆₇	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
54	#11761612	—	4	16	no	—
55	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	16	no	—
57	C₂⁴×C₆₇	—	4	2	no	—
58	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
59	C₂⁴×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
63	#41×C₆₇	—	4	16	no	—
64	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	2	no	—
66	C₂×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
67	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
68	C₂×D₄×C₆₇	—	2	2	no	—
69	C₂×D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
70	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
71	C₂×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
94	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₆₇	—	4	16	no	—
106	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
110	D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
111	D₄×C₆₇	—	4	16	no	—
112	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
129	C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
136	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
138	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
141	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₆₇	#518	1	2	yes	—
143	C₂²×C₆₇	#568	1	4	yes	—
144	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
145	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
146	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
147	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
148	C₄×C₆₇	#534	1	4	yes	—
149	#21743	—	67	1	no	maximal, Sylow
150	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
151	C₂×C₆₇	—	4	4	no	—
152	C₂×C₆₇	—	8	2	no	—
153	C₂×C₆₇	#2308	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₆₇	#2879	1	2	yes	—
155	C₂×C₆₇	#2978	1	4	yes	—
156	C₂×#525	D₆₇	1	1	yes	characteristic
157	C₂×#407	—	67	2	no	—
158	#1870	—	67	8	no	—
159	#1818	—	67	2	no	—
160	#1780	—	67	2	no	—
161	C₆₇	#21743	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
162	C₂²×#41	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×M₁₆	—	67	4	no	—
165	#525	—	2	8	no	—
166	C₂×#123	Dic₆₇	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₆₇	1	2	yes	—
168	C₂×#121	Dic₆₇	1	2	yes	—
169	C₂×#120	Dic₆₇	1	2	yes	—
170	C₂×C₄×D₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
171	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
172	#407	—	134	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
176	#336	—	67	8	no	—
177	C₂⁵	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
178	C₂×#41	—	2	4	no	—
179	C₂×#41	—	4	4	no	—
180	C₂²×Q₈	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
182	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
183	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
184	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
186	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
188	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
189	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
191	C₂×M₁₆	—	268	8	no	—
192	C₂×M₁₆	—	134	8	no	—
193	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
194	#123	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
196	#121	—	2	8	no	—
197	#120	—	2	8	no	—
198	C₄×D₄	—	2	8	no	—
199	C₄×D₄	—	2	8	no	—
200	#117	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
207	C₂²⋊C₈	—	268	8	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	C₂²⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
214	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
215	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
216	#41	—	4	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	268	16	no	—
243	C₂×C₈	—	134	8	no	—
244	C₂×C₈	—	134	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	16	no	—
262	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	D₄	—	4	4	no	—
267	D₄	—	4	8	no	—
268	D₄	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#14524088	1	4	yes	—
285	C₈	—	268	8	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	4	16	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	—	4	8	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#16863871	1	2	yes	—
299	C₂²	#16864163	1	4	yes	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	#16863955	1	4	yes	—
305	C₂	—	4	4	no	—
306	C₂	—	4	2	no	—
307	C₂	—	8	2	no	—
308	C₂	#22562787	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#22568654	1	2	yes	—
310	C₂	#22569271	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×#525×C₆₇	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#525	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21743
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#525

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16863360	C₂	semidirect
2. #22560507	C₂	semidirect
3. #22560280	C₂	semidirect
4. #22560121	C₂	semidirect
10. C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	semidirect
11. #16863151	C₂²	semidirect
161. C₆₇	#21743	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863360	2
#22560507	2
#22560280	2
#22560121	2
C₂×#525×C₆₇	2
#21743	67