Subgroups — #30865261

Order 17152.

1242 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₃₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863450	C₂	1	2	yes	maximal
3	#22561147	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22560277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#22560275	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₆₇×#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
9	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16863450	—	2	8	no	—
17	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#14523953	C₂²	1	4	yes	—
20	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
21	#16863150	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
26	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
27	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₄×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
35	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
36	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
49	Dic₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
50	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
51	#14523953	—	2	8	no	—
52	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
60	C₂×Dic₁₃₄	—	2	32	no	—
61	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
62	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
63	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
67	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
68	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
70	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
71	C₂²×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×Dic₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
74	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
80	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
81	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
82	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
83	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
84	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
85	C₄×Dic₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
102	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
103	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
108	C₂³×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
109	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
122	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
128	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
133	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂×Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×Dic₆₇	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
136	Dic₁₃₄	—	2	32	no	—
137	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
138	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₆₇	#407	1	4	yes	—
144	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	#519	1	2	yes	—
146	C₂²×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
149	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
152	C₄×C₆₇	#536	1	4	yes	—
153	Dic₆₇	—	2	4	no	—
154	Dic₆₇	—	2	4	no	—
155	Dic₆₇	—	2	4	no	—
156	Dic₆₇	—	4	2	no	—
157	#21822	—	67	1	no	maximal, Sylow
158	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂×C₆₇	#2310	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₆₇	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₆₇	#2879	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₆₇	#2983	1	2	yes	—
163	C₂×C₆₇	#2983	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄×Q₈	—	67	1	no	—
165	C₂×#432	—	67	2	no	—
166	#1985	—	67	8	no	—
167	#1817	—	67	1	no	—
168	#1817	—	67	2	no	—
169	#1817	D₆₇	1	1	yes	characteristic
170	C₆₇	#21822	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
171	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
172	C₂×C₄×Q₈	—	67	4	no	—
173	C₂×C₄×Q₈	—	67	4	no	—
174	C₂×C₄×Q₈	—	134	8	no	—
175	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
176	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
177	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
178	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
179	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
180	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
181	#432	—	134	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₈	—	67	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₂×#97	—	67	4	no	—
186	#336	—	67	8	no	—
187	#336	—	67	4	no	—
188	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
189	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
190	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
191	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
192	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
193	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
194	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
196	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
197	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
201	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
202	C₄×Q₈	—	134	16	no	—
203	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
204	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	67	8	no	—
214	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	134	4	no	—
218	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₈	—	134	8	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
223	#97	—	134	8	no	—
224	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
225	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	134	32	no	—
228	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
248	C₂²×C₄	#11761611	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	134	4	no	—
257	C₂×C₈	—	134	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	67	8	no	—
264	C₄²	—	67	4	no	—
265	C₄²	—	67	4	no	—
266	C₄²	—	134	4	no	—
267	C₄²	—	134	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
271	C₂³	M₁₆×D₆₇	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#11761611	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	134	32	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	268	4	no	—
284	C₂×C₄	—	268	4	no	—
285	C₂×C₄	—	67	4	no	—
286	C₂×C₄	—	67	4	no	—
287	C₂×C₄	—	67	4	no	—
288	C₂×C₄	—	134	2	no	—
289	C₂×C₄	—	134	4	no	—
290	C₂×C₄	—	134	2	no	—
291	C₂×C₄	—	134	8	no	—
292	C₂×C₄	—	134	8	no	—
293	C₂×C₄	—	134	2	no	—
294	C₂×C₄	—	134	2	no	—
295	C₂×C₄	—	134	2	no	—
296	C₂×C₄	—	134	4	no	—
297	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#11761611	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#14524090	1	4	yes	—
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₈	—	268	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	#16863358	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#16863873	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×M₁₆×D₆₇	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂²×#11761611	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16864162	1	2	yes	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	268	2	no	—
317	C₄	—	134	4	no	—
318	C₄	—	134	4	no	—
319	C₄	—	134	4	no	—
320	C₄	#16863968	1	4	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	#22562794	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#16863358	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#22568652	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#22569292	1	2	yes	—
326	C₂	#22569293	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1817	C₂
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1817	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21822
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1817

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22561147	C₂	semidirect
170. C₆₇	#21822	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₃₄	2
C₂×#16863450	2
#22561147	2
#22560277	2
#22560275	2
C₆₇×#1817	2
#21822	67