Subgroups — #30865862

Order 17152.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22560817	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
2	#22560193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22560121	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₆₇×#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
11	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
12	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#391×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
17	#390×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
18	#386×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
21	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	4	no	—
22	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
23	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	4	no	—
24	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	4	no	—
25	C₄×C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
26	C₂×#41×C₆₇	—	2	4	no	—
27	C₂×#41×C₆₇	—	4	2	no	—
28	C₂×#41×C₆₇	—	4	2	no	—
29	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	#117×C₆₇	—	4	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄²×C₆₇	—	4	2	no	—
40	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
43	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
45	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
47	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#41×C₆₇	—	4	16	no	—
50	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	1	no	—
52	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	1	no	—
53	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂×D₄×C₆₇	—	2	2	no	—
55	C₂×D₄×C₆₇	—	4	1	no	—
56	C₂×D₄×C₆₇	—	4	1	no	—
57	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
58	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
73	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
74	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
75	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
76	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₄²×C₆₇	—	4	2	no	—
78	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
79	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
80	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
86	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
87	Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
88	D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
89	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
90	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
107	C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	4	yes	—
120	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
122	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
123	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
124	C₄×C₆₇	#538	1	4	yes	—
125	#21903	—	67	1	no	maximal, Sylow
126	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
127	C₂×C₆₇	—	8	2	no	—
128	C₂×C₆₇	#2312	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₆₇	#2922	1	2	yes	—
130	C₂×C₆₇	#2977	1	2	yes	—
131	C₂×C₆₇	#2979	1	2	yes	—
132	#2297	D₆₇	1	1	yes	characteristic
133	#1923	—	67	8	no	—
134	#1798	—	67	2	no	—
135	#1780	—	67	2	no	—
136	C₄×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
137	C₆₇	#21903	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
138	C₂²×#41	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
139	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₈	—	67	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
145	C₂×C₄×C₈	—	67	4	no	—
146	#391	Dic₆₇	1	2	yes	—
147	#390	Dic₆₇	1	2	yes	—
148	#386	Dic₆₇	1	4	yes	—
149	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
150	#336	—	67	4	no	—
151	#336	—	67	4	no	—
152	C₂×#41	—	2	4	no	—
153	C₂×#41	—	4	2	no	—
154	C₂×#41	—	4	2	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
162	#117	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₈	—	268	4	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	268	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	268	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
174	C₄×C₈	—	268	4	no	—
175	#95	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	4	16	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	1	no	—
185	C₂×D₄	—	4	1	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	—	134	8	no	—
202	C₂×C₈	—	134	8	no	—
203	C₂×C₈	—	134	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄²	—	2	4	no	—
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	2	1	no	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	8	no	—
217	C₂³	#14524002	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	4	4	no	—
220	D₄	—	4	4	no	—
221	D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂×C₄	#14524002	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	#14524050	1	8	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
239	C₈	—	268	8	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	4	no	—
246	C₂²	—	4	4	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	C₂×#14524002	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#16863871	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#16863871	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂×#14524050	1	4	yes	—
252	C₄	—	2	8	no	—
253	C₄	—	2	2	no	—
254	C₄	—	4	4	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	#16863984	1	4	yes	—
257	C₂	—	4	2	no	—
258	C₂	—	8	2	no	—
259	C₂	#22562807	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#22568853	1	2	yes	—
261	C₂	#22569265	1	2	yes	—
262	C₂	#22569276	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#2297	C₂
prime radical	C₂²×#41×C₆₇	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2297	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21903
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2297

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22560817	C₂	semidirect
2. #22560193	C₂	semidirect
4. C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	semidirect
137. C₆₇	#21903	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22560817	2
#22560193	2
#22560121	2
C₄×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₆₇×#2297	2
#21903	67