Subgroups — #30865898

Order 17152.

874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22560824	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#22560817	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#22560189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22560121	C₂	1	2	yes	maximal
5	#22559975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₆₇×#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#14523954	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
16	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#391×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#391×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#390×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#390×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#386×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
27	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
28	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	2	no	—
29	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	2	no	—
30	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	8	no	—
31	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	2	no	—
32	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	2	no	—
33	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	4	no	—
34	#14523954	—	4	2	no	—
35	C₄×C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
36	C₂×#41×C₆₇	—	2	4	no	—
37	C₂×#41×C₆₇	—	4	2	no	—
38	C₂×#41×C₆₇	—	4	1	no	—
39	C₂×#41×C₆₇	—	4	1	no	—
40	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#117×C₆₇	—	4	1	no	—
47	#117×C₆₇	—	4	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
58	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
69	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
70	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	1	no	—
72	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	1	no	—
73	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂×D₄×C₆₇	—	2	2	no	—
75	C₂×D₄×C₆₇	—	4	1	no	—
76	C₂×D₄×C₆₇	—	4	1	no	—
77	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
78	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
98	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
99	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
101	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
102	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₆₇	—	4	1	no	—
107	C₄²×C₆₇	—	4	1	no	—
108	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₆₇	#117	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
119	Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
120	D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
121	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₆₇	#117	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
147	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
148	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₆₇	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₆₇	—	4	1	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₆₇	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
163	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
164	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
165	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
166	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
167	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
168	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
169	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
170	C₄×C₆₇	#538	1	2	yes	—
171	C₄×C₆₇	#538	1	2	yes	—
172	#21909	—	67	1	no	maximal, Sylow
173	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
174	C₂×C₆₇	—	8	2	no	—
175	C₂×C₆₇	#2312	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₆₇	#2925	1	2	yes	—
177	C₂×C₆₇	#2976	1	2	yes	—
178	C₂×C₆₇	#2979	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₆₇	#2980	1	1	yes	characteristic
180	#2297	D₆₇	1	1	yes	characteristic
181	#1924	—	67	4	no	—
182	#1923	—	67	4	no	—
183	#1797	—	67	2	no	—
184	#1780	—	67	2	no	—
185	#1750	—	67	2	no	—
186	C₆₇	#21909	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂²×#41	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂×#117	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
196	C₂×#97	—	67	2	no	—
197	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
198	#391	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
199	#391	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
200	#390	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
201	#390	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
202	#386	Dic₆₇	1	4	yes	—
203	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
204	#336	—	67	4	no	—
205	#336	—	67	4	no	—
206	C₂×#41	—	2	4	no	—
207	C₂×#41	—	4	2	no	—
208	C₂×#41	—	4	1	no	—
209	C₂×#41	—	4	1	no	—
210	C₂²×Q₈	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
212	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
217	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
218	#117	—	4	1	no	—
219	#117	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
225	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₈	—	268	2	no	—
231	C₄⋊C₈	—	268	2	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	268	2	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	268	2	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	268	4	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	134	8	no	—
236	#97	—	268	2	no	—
237	C₄×C₈	—	268	2	no	—
238	#95	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
239	#95	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
240	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
241	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
242	#41	—	4	8	no	—
243	#41	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	1	no	—
250	C₂×D₄	—	4	1	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	—	134	4	no	—
272	C₂×C₈	—	134	4	no	—
273	C₂×C₈	—	134	4	no	—
274	C₂×C₈	—	134	4	no	—
275	C₂×C₈	—	134	4	no	—
276	C₂×C₈	—	134	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	#14524002	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	#14524002	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#14524050	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#14524088	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#14524088	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	268	4	no	—
328	C₈	—	268	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	C₂×#14524002	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#16863871	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16863871	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#14524050	1	2	yes	—
343	C₂²	#16864163	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	#16863984	1	2	yes	—
351	C₄	#16863984	1	2	yes	—
352	C₂	—	4	2	no	—
353	C₂	—	8	2	no	—
354	C₂	#22562807	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#22568875	1	2	yes	—
356	C₂	#22569257	1	2	yes	—
357	C₂	#22569276	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#22569280	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#2297	C₂
prime radical	C₂²×#41×C₆₇	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2297	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21909
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2297

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22560824	C₂	semidirect
2. #22560817	C₂	semidirect
3. #22560189	C₂	semidirect
5. #22559975	C₂	semidirect
186. C₆₇	#21909	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22560824	2
#22560817	2
#22560189	2
#22560121	2
#22559975	2
C₆₇×#2297	2
#21909	67