Subgroups — #30866210

Order 17152.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22562616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22560967	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22560965	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22560236	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₆₇×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#14524002	—	2	1	no	—
9	C₂×#14523976	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
13	#16863266	C₂²	1	2	yes	—
14	#16863262	—	2	1	no	—
15	#16863256	—	2	1	no	—
16	#16863256	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
18	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863158	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#117×C₆₇	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#384×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
23	#382×C₆₇	—	2	1	no	—
24	#380×C₆₇	—	2	1	no	—
25	#380×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
29	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	#14524002	—	4	4	no	—
32	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
37	#14523976	—	4	8	no	—
38	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
41	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#117×C₆₇	—	4	4	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₆₇	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
58	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
59	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
60	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
62	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
63	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
64	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
65	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
66	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
68	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
69	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	D₈	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	Q₁₆	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
91	C₄²×C₆₇	—	4	4	no	—
92	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
103	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	#107	1	16	yes	complemented
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂×D₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
128	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
131	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
137	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₆₇	#537	1	2	yes	—
139	C₂²×C₆₇	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₆₇	#575	1	2	yes	—
142	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
143	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
144	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
145	C₄×C₆₇	—	8	4	no	—
146	C₄×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
147	C₄×C₆₇	C₂×#107	1	4	yes	—
148	C₄×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₆₇	#519	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₆₇	#544	1	2	yes	—
151	Dic₆₇	—	8	4	no	—
152	#21961	—	67	1	no	maximal, Sylow
153	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
154	C₂×C₆₇	#2316	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₆₇	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₆₇	#2911	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₆₇	#3245	1	2	yes	—
158	C₂×C₆₇	#3249	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
160	#2285	—	67	1	no	—
161	#2285	D₆₇	1	1	yes	characteristic
162	#1947	—	67	4	no	—
163	#1947	—	67	4	no	—
164	#1808	—	67	4	no	—
165	C₆₇	#21961	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
166	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
167	C₂×#117	—	2	1	no	—
168	C₂×#117	—	134	1	no	—
169	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
170	C₂×#107	—	67	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
174	#384	—	67	2	no	—
175	#384	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
176	#382	—	2	1	no	—
177	#382	—	134	1	no	—
178	#380	—	2	1	no	—
179	#380	—	67	2	no	—
180	#380	—	134	1	no	—
181	#380	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
182	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
184	C₄×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
185	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
186	#340	—	67	8	no	—
187	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₈	—	268	4	no	—
191	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
192	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
193	#117	—	4	4	no	—
194	#117	—	268	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
205	C₂×C₄²	Dic₁₃₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	268	8	no	—
212	C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
213	C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
214	#95	—	2	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	134	2	no	—
217	#95	—	134	2	no	—
218	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
224	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#11761613	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#11761618	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	—	268	8	no	—
237	C₂×C₈	—	67	8	no	—
238	C₂×C₈	—	134	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	268	4	no	—
251	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#11761613	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂×#11761618	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	268	4	no	—
274	C₂×C₄	—	268	4	no	—
275	C₂×C₄	—	268	4	no	—
276	C₂×C₄	#14523976	1	16	yes	complemented
277	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#11761613	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#11761613	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#11761618	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#14524090	1	2	yes	—
290	C₈	—	134	8	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	C₂×#14523976	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#16863974	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂²×#11761613	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂²×#11761618	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#16864194	1	2	yes	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	8	4	no	—
305	C₄	—	536	4	no	—
306	C₄	C₂×#14523976	1	4	yes	—
307	C₄	C₂×#14523976	1	4	yes	—
308	C₄	#16863870	1	1	yes	characteristic
309	C₄	#16863873	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#16864024	1	2	yes	—
311	C₂	—	2	4	no	—
312	C₂	#22562825	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂²×#14523976	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#22568798	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#22571516	1	2	yes	—
316	C₂	#22571551	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#2285	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2285	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21961
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2285

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22560967	C₂	semidirect
4. #22560965	C₂	semidirect
10. C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₄	semidirect
114. C₂×C₄×C₆₇	#107	semidirect
165. C₆₇	#21961	semidirect
276. C₂×C₄	#14523976	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	2
#22562616	2
#22560967	2
#22560965	2
#22560236	2
C₆₇×#2285	2
#21961	67