Subgroups — #30866272

Order 17152.

946 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#14524002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22560927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22560386	C₂	1	4	yes	maximal
5	#22560360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22560325	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#431×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524002	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#14524002	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
15	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×C₂²⋊Dic₆₇	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×C₂²⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863242	C₄	1	2	yes	—
20	C₄²×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	#16863150	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#431×C₆₇	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	#14524002	—	2	4	no	—
32	#14524002	C₈	1	8	yes	complemented
33	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
41	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
42	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
43	Dic₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
44	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
58	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
59	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
60	C₄×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
66	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
67	C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
68	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
69	C₂²⋊Dic₆₇	C₂×C₈	1	8	yes	—
70	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
71	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
72	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
73	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
74	C₄×Dic₆₇	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
75	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
106	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₄⋊C₈	1	16	yes	complemented
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
128	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₆₇	C₂²×C₈	1	8	yes	—
134	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
135	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
136	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₆₇	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₆₇	#520	1	2	yes	—
144	C₂²×C₆₇	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₆₇	#568	1	2	yes	—
147	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
148	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
149	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
151	C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
152	C₄×C₆₇	#535	1	1	yes	characteristic
153	C₄×C₆₇	#536	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₆₇	#544	1	2	yes	—
155	Dic₆₇	—	2	8	no	—
156	Dic₆₇	—	4	4	no	—
157	#21972	—	67	1	no	maximal, Sylow
158	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂×C₆₇	#2317	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₆₇	#2905	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₆₇	#2988	1	2	yes	—
163	C₂×C₆₇	#2989	1	2	yes	—
164	C₂×#431	D₆₇	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
166	C₄×#117	—	67	1	no	—
167	#1939	—	67	4	no	—
168	#1850	—	67	4	no	—
169	#1842	—	67	2	no	—
170	#1831	—	67	2	no	—
171	C₆₇	#21972	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
172	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
173	C₂×#117	—	67	1	no	—
174	C₂×#117	—	67	1	no	—
175	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
176	#431	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
184	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
186	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
187	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
188	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
189	#376	—	67	2	no	—
190	C₄³	—	67	2	no	—
191	#336	—	67	8	no	—
192	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
193	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
194	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	—	268	4	no	—
196	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
197	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
198	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
199	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
200	#117	—	67	8	no	—
201	#117	—	134	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	67	4	no	—
210	C₂×C₄²	Dic₁₃₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₈	—	268	8	no	—
219	C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
220	C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	4	no	—
223	#95	—	67	4	no	—
224	#95	—	67	4	no	—
225	C₂⁴	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
231	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₈×D₆₇	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#11761611	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	268	8	no	—
248	C₂×C₈	—	134	4	no	—
249	C₂×C₈	—	134	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
254	C₄²	—	268	4	no	—
255	C₄²	—	67	8	no	—
256	C₄²	—	134	4	no	—
257	C₄²	—	134	4	no	—
258	C₄²	—	134	4	no	—
259	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₄²	Dic₆₇⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂×C₈×D₆₇	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×#11761611	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	67	8	no	—
279	C₂×C₄	—	134	4	no	—
280	C₂×C₄	—	134	4	no	—
281	C₂×C₄	—	134	4	no	—
282	C₂×C₄	—	134	4	no	—
283	C₂×C₄	—	134	4	no	—
284	C₂×C₄	Dic₆₇⋊C₈	1	16	yes	complemented
285	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×C₈×D₆₇	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₈×D₆₇	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#11761611	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#11761611	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#14524090	1	2	yes	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₈	—	4	2	no	—
300	C₈	—	268	4	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	C₂×Dic₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
306	C₂²	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#16863876	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂²×C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂²×#11761611	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#16864162	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	268	4	no	—
315	C₄	—	134	8	no	—
316	C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
317	C₄	C₂×Dic₆₇⋊C₈	1	4	yes	—
318	C₄	#16863960	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#16863967	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#16864024	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	#22562829	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂²×Dic₆₇⋊C₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#22568772	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#22569317	1	2	yes	—
326	C₂	#22569322	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂³×C₈
Fitting	C₂×#431×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#431	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#21972
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22560927	C₂	semidirect
5. #22560360	C₂	semidirect
6. #22560325	C₂	semidirect
32. #14524002	C₈	semidirect
67. C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₈	semidirect
74. C₄×Dic₆₇	C₂×C₈	semidirect
114. C₂×C₄×C₆₇	C₄⋊C₈	semidirect
171. C₆₇	#21972	semidirect
284. C₂×C₄	Dic₆₇⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₄×#14524002	2
#22560927	2
#22560386	2
#22560360	2
#22560325	2
C₂×#431×C₆₇	2
#21972	67