Subgroups — #30869067

Order 17152.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Dic₁₃₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₈×D₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22563495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22561149	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22561007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#22560816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#22560388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#22560363	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₆₇×#1746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₈×D₆₇	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₈×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
14	C₈×D₂₆₈	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863336	C₄	1	2	yes	—
23	#16863323	C₄	1	2	yes	—
24	#16863314	C₄	1	2	yes	—
25	#16863309	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	#16863150	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#97×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#376×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
32	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
39	C₂×C₈×D₆₇	—	4	4	no	—
40	C₄×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
41	C₄×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
42	C₄×D₂₆₈	—	2	2	no	—
43	C₄×D₂₆₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×Dic₆₇⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
51	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
52	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
53	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	4	4	no	—
54	Dic₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
55	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	4	no	—
56	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	4	4	no	—
57	C₈×Dic₆₇	—	2	4	no	—
58	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₆₇⋊#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#97×C₆₇	—	2	2	no	—
66	C₄×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
67	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#95×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂³×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×Dic₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
81	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₈×D₆₇	—	4	8	no	—
86	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
87	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
88	Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
89	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
90	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
91	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
92	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
93	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₆₇	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₆₇	#131	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₆₇	#131	1	4	yes	—
133	D₂₆₈	—	2	8	no	—
134	C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
135	C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
136	C₄×D₆₇	—	4	4	no	—
137	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
138	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
141	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
142	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₆₇	#520	1	2	yes	—
145	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
146	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	2	yes	—
147	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
148	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
149	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
150	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
151	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
152	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
153	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
154	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
155	C₄×C₆₇	#535	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₆₇	#536	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₆₇	#542	1	2	yes	—
158	Dic₆₇	—	2	4	no	—
159	Dic₆₇	—	4	2	no	—
160	Dic₆₇	—	4	2	no	—
161	#22209	—	67	1	no	maximal, Sylow
162	C₂×C₆₇	#2326	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₆₇	#2929	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₆₇	#2929	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₆₇	#2994	1	4	yes	—
166	D₆₇	—	4	4	no	—
167	C₂×C₈×Q₈	—	67	1	no	—
168	C₂×C₈×D₄	—	67	1	no	—
169	#2398	—	67	1	no	—
170	#1985	—	67	1	no	—
171	#1955	—	67	1	no	—
172	#1923	—	67	4	no	—
173	#1850	—	67	4	no	—
174	#1843	—	67	1	no	—
175	#1746	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
176	C₆₇	#22209	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
177	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	—	67	1	no	—
179	C₂×C₄×D₄	—	67	1	no	—
180	C₈×Q₈	—	134	4	no	—
181	C₈×D₄	—	134	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₈	—	67	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
188	C₂×#97	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
190	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	#400	—	67	2	no	—
192	#397	—	67	2	no	—
193	#394	—	67	2	no	—
194	#393	—	67	2	no	—
195	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
196	#376	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
197	#336	—	67	4	no	—
198	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
199	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
200	C₂²×Q₈	—	67	1	no	—
201	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
202	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
203	C₂²×C₈	—	268	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
205	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
206	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
207	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
208	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₄×Q₈	—	134	2	no	—
211	C₄×Q₈	—	134	2	no	—
212	C₄×D₄	—	134	2	no	—
213	C₄×D₄	—	134	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
220	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
221	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₈	—	268	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	134	4	no	—
225	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
226	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	268	4	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
229	#97	—	2	2	no	—
230	C₄×C₈	—	134	4	no	—
231	C₄×C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
232	#95	—	67	4	no	—
233	#95	—	67	4	no	—
234	#95	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
235	#95	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
236	C₂⁴	—	67	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
239	C₂×D₄	—	134	4	no	—
240	C₂×D₄	—	134	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	268	8	no	—
258	C₂×C₈	—	134	2	no	—
259	C₂×C₈	—	134	2	no	—
260	C₂×C₈	—	134	4	no	—
261	C₂×C₈	—	134	4	no	—
262	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	134	2	no	—
273	C₄²	—	134	2	no	—
274	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
275	C₄²	#11761628	1	2	yes	—
276	C₂³	—	67	4	no	—
277	C₂³	—	134	2	no	—
278	C₂³	—	134	4	no	—
279	C₂³	—	134	4	no	—
280	C₂³	—	134	2	no	—
281	C₂³	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	134	8	no	—
283	D₄	—	134	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	268	4	no	—
290	C₂×C₄	—	268	2	no	—
291	C₂×C₄	—	268	2	no	—
292	C₂×C₄	—	67	4	no	—
293	C₂×C₄	—	134	2	no	—
294	C₂×C₄	—	134	2	no	—
295	C₂×C₄	—	134	4	no	—
296	C₂×C₄	—	134	4	no	—
297	C₂×C₄	—	134	2	no	—
298	C₂×C₄	—	134	2	no	—
299	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#14524090	1	2	yes	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	268	2	no	—
309	C₈	—	268	2	no	—
310	C₂²	—	268	2	no	—
311	C₂²	—	268	4	no	—
312	C₂²	—	268	2	no	—
313	C₂²	—	134	8	no	—
314	C₂²	—	134	4	no	—
315	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#16863876	1	2	yes	—
317	C₂²	#131×D₆₇	1	2	yes	—
318	C₂²	#131×D₆₇	1	2	yes	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	268	2	no	—
323	C₄	—	268	2	no	—
324	C₄	—	134	4	no	—
325	C₄	#16863965	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#16863972	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#16864017	1	2	yes	—
328	C₂	—	268	4	no	—
329	C₂	#22562920	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#22568905	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#22568905	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#22569363	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₆₇×#1746	C₂
prime radical	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1746	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22209
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1746

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×Dic₁₃₄	C₂	semidirect
4. #22561149	C₂	semidirect
6. #22560816	C₂	semidirect
7. #22560388	C₂	semidirect
8. #22560363	C₂	semidirect
9. C₆₇×#1746	C₂	semidirect
175. #1746	D₆₇	semidirect
176. C₆₇	#22209	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Dic₁₃₄	2
C₂×C₈×D₂₆₈	2
#22563495	2
#22561149	2
#22561007	2
#22560816	2
#22560388	2
#22560363	2
C₆₇×#1746	2
#22209	67