Subgroups — #30871691

Order 17152.

1398 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22563041	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22561068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22560551	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22560143	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₈×C₂²⋊Dic₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₆₇×#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
11	C₂²×Dic₂₆₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#14524008	C₂²	1	4	yes	—
16	#16863490	—	2	8	no	—
17	C₂×#14523966	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#14523966	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	#16863301	C₂²	1	4	yes	—
22	#16863300	—	2	4	no	—
23	#16863254	—	2	2	no	—
24	C₂²⋊C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
25	C₄×C₂²⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16863150	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#107×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
29	#380×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	#340×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
34	C₂²×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
40	C₂×Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
41	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	#14524008	—	2	8	no	—
48	#14524008	—	4	4	no	—
49	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
54	#14523966	—	2	8	no	—
55	#14523966	—	4	4	no	—
56	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
57	C₈×Dic₆₇	—	2	4	no	—
58	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
59	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
60	C₆₇⋊#95	D₄	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
68	#107×C₆₇	—	2	4	no	—
69	#95×C₆₇	—	2	2	no	—
70	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
72	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
73	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
76	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
77	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
78	C₂×Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
79	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
80	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
83	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
87	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
90	Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
91	Dic₂₆₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
92	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
95	Dic₆₇⋊C₄	—	4	8	no	—
96	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Dic₆₇	Q₁₆	1	4	yes	complemented
98	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
99	C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
100	C₄×Dic₆₇	—	4	8	no	—
101	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
111	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
117	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
121	C₂³×C₆₇	#135	1	2	yes	—
122	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
138	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
146	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
147	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
148	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
149	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
150	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
151	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
152	Dic₁₃₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
154	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₆₇	C₄×Q₁₆	1	4	yes	complemented
161	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₆₇	D₄²	1	2	yes	—
163	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₆₇	#578	1	2	yes	—
166	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
167	C₄×C₆₇	—	8	4	no	—
168	C₄×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₆₇	#546	1	2	yes	—
171	Dic₆₇	—	2	8	no	—
172	Dic₆₇	—	2	4	no	—
173	Dic₆₇	—	4	4	no	—
174	Dic₆₇	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₄×Q₁₆	—	67	1	no	maximal, Sylow
176	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
177	C₂×C₆₇	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₆₇	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₆₇	#2950	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₆₇	#3285	1	2	yes	—
181	C₂×C₆₇	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
182	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
183	C₂×C₄×Q₁₆	—	67	2	no	—
184	Q₈×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
185	#1969	—	67	2	no	—
186	#1878	—	67	4	no	—
187	#1808	D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	#1787	—	67	2	no	—
189	C₈×C₂²⋊C₄	—	67	1	no	—
190	C₆₇	C₂²⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
191	C₂³×Q₈	—	67	2	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	67	8	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
194	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
195	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
196	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
197	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄×Q₈	—	67	4	no	—
199	C₄×Q₁₆	—	134	8	no	—
200	C₂×#107	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
201	C₂×#103	—	67	4	no	—
202	C₂×#103	—	67	4	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	1	no	—
204	C₂×C₄×C₈	—	67	2	no	—
205	#391	—	67	4	no	—
206	#391	—	134	4	no	—
207	#380	—	134	2	no	—
208	#380	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
209	C₄×C₂²⋊C₄	—	67	1	no	—
210	C₄×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
211	#340	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
212	#336	—	67	2	no	—
213	C₂²×Q₈	—	268	4	no	—
214	C₂²×Q₈	—	67	8	no	—
215	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
216	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
217	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
218	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
219	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
220	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
221	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
222	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	134	32	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
229	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
231	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
234	C₄×Q₈	—	268	4	no	—
235	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	1	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	1	no	—
241	C₂×C₄²	—	67	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	134	4	no	—
243	#107	—	2	4	no	—
244	#103	—	268	4	no	—
245	#103	—	134	8	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	134	2	no	—
247	C₄×C₈	—	134	4	no	—
248	#95	—	2	2	no	—
249	#95	—	67	2	no	—
250	#95	—	134	4	no	—
251	#95	—	134	4	no	—
252	C₂⁴	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
253	C₂×Q₈	—	268	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
259	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
260	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	#11761629	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
279	Q₁₆	—	67	16	no	—
280	Q₁₆	—	134	16	no	—
281	Q₁₆	—	134	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	134	2	no	—
285	C₂×C₈	—	134	2	no	—
286	C₂×C₈	—	134	2	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	268	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
296	C₄²	—	268	8	no	—
297	C₄²	—	134	2	no	—
298	C₄²	—	134	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	#14524005	1	2	yes	—
302	C₂³	Q₁₆×D₆₇	1	2	yes	—
303	C₂³	#14524062	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	268	16	no	—
306	Q₈	—	268	4	no	—
307	Q₈	—	67	8	no	—
308	Q₈	—	134	4	no	—
309	Q₈	—	134	4	no	—
310	Q₈	—	134	8	no	—
311	Q₈	—	134	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	268	4	no	—
320	C₂×C₄	—	268	16	no	—
321	C₂×C₄	—	67	4	no	—
322	C₂×C₄	—	134	2	no	—
323	C₂×C₄	—	134	4	no	—
324	C₂×C₄	—	134	2	no	—
325	C₂×C₄	—	134	2	no	—
326	C₂×C₄	—	134	2	no	—
327	C₂×C₄	—	134	8	no	—
328	C₂×C₄	—	134	4	no	—
329	C₂×C₄	—	134	2	no	—
330	C₂×C₄	#14524005	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	268	2	no	—
337	C₈	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	#16863490	1	4	yes	complemented
343	C₂²	C₂×#14524005	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#16864030	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×Q₁₆×D₆₇	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#14524062	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#16864210	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	—	268	2	no	—
351	C₄	—	268	4	no	—
352	C₄	—	134	4	no	—
353	C₄	—	134	8	no	—
354	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16863870	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#16864037	1	2	yes	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	#22563029	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#16863490	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#22569076	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#22571947	1	2	yes	—
362	C₂	#22571958	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1808	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1808	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²⋊C₄×Q₁₆
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1808

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863490	C₂	semidirect
4. #22561068	C₂	semidirect
5. #22560551	C₂	semidirect
11. C₂²×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
91. Dic₂₆₈	C₂²⋊C₄	semidirect
97. C₂²⋊Dic₆₇	Q₁₆	semidirect
145. C₂×Dic₆₇	C₂×Q₁₆	semidirect
160. C₂²×C₆₇	C₄×Q₁₆	semidirect
190. C₆₇	C₂²⋊C₄×Q₁₆	semidirect
342. C₂²	#16863490	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂×#16863490	2
#22563041	2
#22561068	2
#22560551	2
#22560143	2
C₈×C₂²⋊Dic₆₇	2
C₆₇×#1808	2
C₂²⋊C₄×Q₁₆	67