Subgroups — #30871756

Order 17152.

1294 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16864213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22569078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22568671	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22561107	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22560702	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22560255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#22560185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₆₇×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#14524090	C₂²	1	2	yes	—
10	#16864213	—	2	4	no	—
11	#16864213	—	2	4	no	—
12	C₂×#14524076	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#14524076	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#14524065	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#14524065	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×Dic₂₆₈	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16863873	C₂²	1	4	yes	—
19	#16863504	—	2	4	no	—
20	C₄×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
21	#16863434	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863412	C₂²	1	4	yes	—
23	#16863406	C₂²	1	4	yes	—
24	#16863370	C₂²	1	2	yes	—
25	#16863369	C₂²	1	4	yes	—
26	#16863368	—	2	8	no	—
27	#16863153	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#131×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#413×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#410×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#405×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
32	#344×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
33	#14524090	—	2	8	no	—
34	#14524090	—	4	4	no	—
35	C₂×#11761628	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#11761628	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11761627	—	2	4	no	—
38	C₂×#11761627	—	2	2	no	—
39	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×Q₈×D₆₇	—	2	2	no	—
42	#14524076	—	2	8	no	—
43	#14524076	—	2	16	no	—
44	#14524065	—	2	4	no	—
45	#14524065	—	2	4	no	—
46	#14524065	—	2	2	no	—
47	#14524065	—	2	2	no	—
48	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
49	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
50	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×#11761617	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#11761617	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×D₅₃₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
60	#14524008	—	4	4	no	—
61	#14524002	C₂³	1	4	yes	—
62	#14523999	—	2	8	no	—
63	#14523977	—	2	2	no	—
64	#14523975	—	2	2	no	—
65	#14523969	—	4	4	no	—
66	#14523968	—	2	8	no	—
67	#14523958	—	2	4	no	—
68	#14523957	—	2	8	no	—
69	C₂×#41×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#131×C₆₇	—	2	2	no	—
71	#131×C₆₇	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#117×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
78	#101×C₆₇	—	2	1	no	—
79	#100×C₆₇	—	2	1	no	—
80	#99×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
81	#97×C₆₇	—	2	2	no	—
82	C₄×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
83	#11761628	—	2	4	no	—
84	#11761628	—	2	4	no	—
85	#11761628	—	2	8	no	—
86	#11761628	—	4	4	no	—
87	#11761627	—	4	8	no	—
88	#11761627	—	4	16	no	—
89	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
92	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
94	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	Q₈×D₆₇	—	4	8	no	—
98	C₂×D₂₆₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
105	Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
106	Dic₂₆₈	—	2	1	no	—
107	Dic₂₆₈	—	2	1	no	—
108	Dic₂₆₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	Dic₂₆₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	Dic₂₆₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
111	#11761617	—	2	8	no	—
112	#11761617	—	2	4	no	—
113	D₅₃₆	—	2	1	no	—
114	D₅₃₆	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
116	Dic₆₇⋊C₄	—	4	8	no	—
117	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
118	C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
119	C₄×Dic₆₇	—	4	8	no	—
120	#41×C₆₇	—	2	2	no	—
121	#41×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₈×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂×D₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×D₄×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
128	M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
129	M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
130	M₁₆×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
145	Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
146	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
147	D₄×C₆₇	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
156	C₂²⋊D₆₇	—	4	8	no	—
157	C₂²⋊D₆₇	—	4	4	no	—
158	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
160	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
161	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
162	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
163	D₂₆₈	—	2	2	no	—
164	D₂₆₈	—	2	2	no	—
165	C₄×D₆₇	—	4	8	no	—
166	C₄×D₆₇	—	4	4	no	—
167	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
168	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
169	Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
170	Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
171	Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
172	Dic₁₃₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
173	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
174	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
175	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₆₇	—	4	1	no	—
180	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₆₇	D₄²	1	2	yes	—
183	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
184	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
185	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
186	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
187	C₄×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₆₇	#546	1	2	yes	—
190	Dic₆₇	—	2	8	no	—
191	Dic₆₇	—	4	2	no	—
192	Dic₆₇	—	8	4	no	—
193	#22457	—	67	1	no	maximal, Sylow
194	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
195	C₂×C₆₇	—	2	1	no	—
196	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
197	C₂×C₆₇	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	D₆₇	—	8	2	no	—
199	C₂×#578	—	67	1	no	—
200	#2950	—	67	2	no	—
201	#2884	—	67	2	no	—
202	#1976	—	67	2	no	—
203	#1905	—	67	4	no	—
204	#1812	—	67	1	no	—
205	#1796	—	67	2	no	—
206	#1757	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
207	C₆₇	#22457	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂×2₋¹⁺⁴	—	67	2	no	—
209	#578	—	134	4	no	—
210	#578	—	134	4	no	—
211	C₂×#137	—	67	4	no	—
212	C₂×#137	—	67	2	no	—
213	C₂×#135	—	67	2	no	—
214	C₂×#135	—	67	1	no	—
215	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
216	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
217	C₂×#131	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
218	#519	—	67	4	no	—
219	#441	—	134	4	no	—
220	C₄×Q₁₆	—	134	4	no	—
221	#427	—	67	2	no	—
222	#421	—	67	4	no	—
223	#419	—	67	4	no	—
224	#413	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
225	#410	—	67	2	no	—
226	#410	—	67	4	no	—
227	#410	—	134	8	no	—
228	#410	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
229	#405	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
230	#344	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
231	H(3,ℤ/4)	—	67	2	no	—
232	2₋¹⁺⁴	—	268	4	no	—
233	2₋¹⁺⁴	—	134	8	no	—
234	C₂×#41	—	67	4	no	—
235	C₂×#41	—	67	2	no	—
236	C₂×#41	—	134	4	no	—
237	C₂×#41	—	134	2	no	—
238	C₂×#41	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
240	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
241	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
242	#137	—	134	16	no	—
243	#137	—	134	8	no	—
244	#135	—	134	4	no	—
245	#135	—	134	4	no	—
246	#135	—	134	2	no	—
247	#135	—	134	2	no	—
248	C₂×Q₁₆	—	67	2	no	—
249	C₂×Q₁₆	—	67	2	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	67	1	no	—
251	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
252	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
253	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
254	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
255	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
256	C₂×SD₁₆	—	67	4	no	—
257	C₂×SD₁₆	—	67	2	no	—
258	C₂×D₈	—	67	1	no	—
259	#131	—	2	2	no	—
260	#131	—	2	2	no	—
261	C₂×M₁₆	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
262	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
263	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
265	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
266	C₄×Q₈	—	268	4	no	—
267	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
268	#117	—	67	4	no	—
269	#117	—	134	8	no	—
270	#117	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
271	#107	—	134	2	no	—
272	#106	—	134	2	no	—
273	#104	—	268	4	no	—
274	#103	—	134	8	no	—
275	#101	—	2	1	no	—
276	#100	—	2	1	no	—
277	#99	—	134	4	no	—
278	#99	—	134	8	no	—
279	#99	D₂₆₈	1	4	yes	—
280	#97	—	2	2	no	—
281	C₄×C₈	—	2	2	no	—
282	#41	—	2	2	no	—
283	#41	—	2	2	no	—
284	#41	—	268	4	no	—
285	#41	—	268	8	no	—
286	#41	—	268	16	no	—
287	#41	—	134	8	no	—
288	#41	—	134	4	no	—
289	#41	—	134	4	no	—
290	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
292	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	67	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
295	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
296	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
297	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
298	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
299	C₂×Q₈	#11761628	1	1	yes	characteristic
300	C₂×D₄	—	67	2	no	—
301	C₂×D₄	—	134	4	no	—
302	C₂×D₄	—	134	2	no	—
303	C₂×D₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
304	C₂×D₄	#11761628	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
306	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
309	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
311	Q₁₆	—	67	4	no	—
312	Q₁₆	—	67	4	no	—
313	Q₁₆	—	67	8	no	—
314	Q₁₆	—	134	8	no	—
315	Q₁₆	—	134	1	no	—
316	Q₁₆	—	134	1	no	—
317	SD₁₆	—	134	8	no	—
318	SD₁₆	—	134	4	no	—
319	D₈	—	134	1	no	—
320	D₈	—	134	1	no	—
321	M₁₆	—	2	2	no	—
322	M₁₆	—	2	4	no	—
323	M₁₆	—	2	2	no	—
324	M₁₆	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	2	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
329	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
332	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
333	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	268	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
337	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
338	C₄²	—	2	2	no	—
339	C₄²	—	268	8	no	—
340	C₄²	—	134	4	no	—
341	C₂³	—	134	2	no	—
342	C₂³	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	2	no	—
345	Q₈	—	268	8	no	—
346	Q₈	—	67	8	no	—
347	Q₈	—	134	2	no	—
348	Q₈	—	134	2	no	—
349	Q₈	—	134	8	no	—
350	Q₈	—	134	4	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	2	2	no	—
353	D₄	—	268	4	no	—
354	D₄	—	268	8	no	—
355	D₄	—	134	2	no	—
356	D₄	—	134	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	268	8	no	—
361	C₂×C₄	—	268	8	no	—
362	C₂×C₄	—	268	4	no	—
363	C₂×C₄	—	268	4	no	—
364	C₂×C₄	—	134	2	no	—
365	C₂×C₄	—	134	8	no	—
366	C₂×C₄	—	134	4	no	—
367	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
375	C₈	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
376	C₈	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	4	1	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	268	2	no	—
381	C₂²	—	536	2	no	—
382	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	D₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	268	2	no	—
387	C₄	—	536	4	no	—
388	C₄	—	134	8	no	—
389	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#16863870	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#16864042	1	2	yes	—
392	C₂	—	2	2	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	4	2	no	—
395	C₂	—	536	2	no	—
396	C₂	C₂²⋊C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂	C₂²⋊C₄×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1757	C₂
socle	C₂×C₆₇	D₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#16864213	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1757	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22457
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1757

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22569078	C₂	semidirect
3. #22568671	C₂	semidirect
4. #22561107	C₂	semidirect
5. #22560702	C₂	semidirect
6. #22560255	C₂	semidirect
7. #22560185	C₂	semidirect
8. C₆₇×#1757	C₂	semidirect
12. C₂×#14524076	C₄	semidirect
14. C₂×#14524065	C₄	semidirect
16. C₂²×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
206. #1757	D₆₇	semidirect
207. C₆₇	#22457	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16864213	2
#22569078	2
#22568671	2
#22561107	2
#22560702	2
#22560255	2
#22560185	2
C₆₇×#1757	2
#22457	67