Subgroups — #30873966

Order 17152.

982 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22563160	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22560965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22560407	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22560231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#14523975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₆₇×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₈×D₆₇	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#14524001	C₂²	1	4	yes	—
12	C₈×D₂₆₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	#16863431	—	2	8	no	—
14	C₂×#14523976	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#14523975	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#14523975	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863297	—	2	2	no	—
20	#16863286	—	2	4	no	—
21	#16863253	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄⋊C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
23	C₄×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	#16863159	C₂²	1	2	yes	—
25	#16863158	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#106×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#106×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#384×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₆₈	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
34	C₂×C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
35	C₂×C₈×D₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₄×D₂₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₄×D₂₆₈	Q₈	1	4	yes	—
38	#14524001	—	2	8	no	—
39	#14524001	—	4	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
48	#14523976	—	2	8	no	—
49	#14523975	—	2	2	no	—
50	#14523975	D₄	1	4	yes	complemented
51	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	(C₂×D₆₇)⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
54	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#106×C₆₇	—	2	4	no	—
62	#106×C₆₇	—	4	2	no	—
63	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂³×D₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
66	C₂×D₂₆₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
68	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
76	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₈×D₆₇	—	2	16	no	—
80	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
81	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
82	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
83	C₄⋊Dic₆₇	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
84	C₄⋊Dic₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
86	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	8	4	no	—
87	(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₄×Dic₆₇	—	4	8	no	—
89	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
95	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₆₇	#41	1	2	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
103	C₄⋊C₄×C₆₇	—	8	2	no	—
104	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	#135	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
134	D₂₆₈	—	2	8	no	—
135	C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
136	C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
137	C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
138	C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
139	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₈×C₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
141	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₆₇	D₄²	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₆₇	#547	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	2	yes	—
146	C₂²×C₆₇	#577	1	2	yes	—
147	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
148	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
149	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
150	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
151	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
152	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
153	C₄×C₆₇	—	8	4	no	—
154	C₄×C₆₇	#427	1	4	yes	complemented
155	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₆₇	#520	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₆₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₆₇	#554	1	1	yes	characteristic
159	Dic₆₇	—	2	4	no	—
160	Dic₆₇	—	4	4	no	—
161	Dic₆₇	—	8	2	no	—
162	#22657	—	67	1	no	maximal, Sylow
163	C₂×C₆₇	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₆₇	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₆₇	#2912	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₆₇	#3284	1	2	yes	—
167	C₂×C₆₇	#3340	1	2	yes	—
168	D₆₇	—	4	4	no	—
169	C₂×C₈×D₄	—	67	1	no	—
170	C₂×#427	—	67	2	no	—
171	#2354	—	67	2	no	—
172	#1947	—	67	2	no	—
173	#1854	—	67	4	no	—
174	#1844	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
175	#1807	—	67	2	no	—
176	C₄×#106	—	67	1	no	—
177	C₆₇	#22657	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
178	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
179	C₂×C₄×D₄	—	67	1	no	—
180	C₂×#117	—	67	4	no	—
181	C₈×D₄	—	67	8	no	—
182	#427	—	134	8	no	—
183	C₂×#107	—	67	4	no	—
184	C₂×#106	—	67	1	no	—
185	C₂×#106	—	67	1	no	—
186	C₂×#106	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
187	C₂×#106	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	2	no	—
190	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	#390	—	134	2	no	—
192	#388	—	134	4	no	—
193	#384	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
194	#380	—	67	4	no	—
195	C₄×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
196	C₄×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
197	#340	—	67	2	no	—
198	#340	—	67	4	no	—
199	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
200	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
201	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
202	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
203	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
205	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
207	C₄×D₄	—	67	4	no	—
208	C₄×D₄	—	67	4	no	—
209	#117	—	268	4	no	—
210	#117	—	134	8	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
220	C₂×C₄²	—	134	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
223	#107	—	134	8	no	—
224	#106	—	2	4	no	—
225	#106	—	4	2	no	—
226	#106	—	67	4	no	—
227	#106	—	134	2	no	—
228	C₄⋊C₈	—	67	4	no	—
229	C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
230	C₄×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
231	#95	—	134	4	no	—
232	#95	—	134	2	no	—
233	C₂⁴	—	67	2	no	—
234	C₂×D₄	—	67	4	no	—
235	C₂×D₄	—	134	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
246	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	67	4	no	—
252	C₂×C₈	—	134	2	no	—
253	C₂×C₈	—	134	2	no	—
254	C₂×C₈	—	134	16	no	—
255	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#11761629	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	536	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
271	C₄²	—	268	8	no	—
272	C₄²	—	268	4	no	—
273	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
274	C₄²	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
275	C₂³	—	67	4	no	—
276	C₂³	—	134	2	no	—
277	C₂³	—	134	2	no	—
278	C₂³	—	134	4	no	—
279	C₂³	—	134	4	no	—
280	C₂³	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
281	D₄	—	134	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	268	2	no	—
287	C₂×C₄	—	268	2	no	—
288	C₂×C₄	—	268	2	no	—
289	C₂×C₄	—	268	2	no	—
290	C₂×C₄	—	268	2	no	—
291	C₂×C₄	—	67	4	no	—
292	C₂×C₄	—	134	4	no	—
293	C₂×C₄	—	134	2	no	—
294	C₂×C₄	—	134	2	no	—
295	C₂×C₄	—	134	4	no	—
296	C₂×C₄	—	134	4	no	—
297	C₂×C₄	—	134	4	no	—
298	C₂×C₄	—	134	4	no	—
299	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#14524064	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#14524088	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#14524091	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	134	4	no	—
310	C₈	#14524005	1	4	yes	—
311	C₂²	—	268	4	no	—
312	C₂²	—	268	4	no	—
313	C₂²	—	134	4	no	—
314	C₂²	—	134	4	no	—
315	C₂²	—	134	4	no	—
316	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#16864031	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#16864049	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#14524064	1	2	yes	—
320	C₂²	#16864202	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	8	4	no	—
323	C₄	—	268	4	no	—
324	C₄	—	536	2	no	—
325	C₄	—	134	4	no	—
326	C₄	#16863431	1	4	yes	complemented
327	C₄	C₂×#14524005	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#16863877	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#16864061	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#16864107	1	1	yes	characteristic
331	C₂	—	268	4	no	—
332	C₂	#22563109	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#16863431	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#22568800	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#22571938	1	2	yes	—
336	C₂	#22572621	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₆₇
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1844	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₆₈	D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1844	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22657
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1844

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863431	C₂	semidirect
4. #22560965	C₂	semidirect
5. #22560407	C₂	semidirect
6. #22560231	C₂	semidirect
7. C₄×#14523975	C₂	semidirect
8. C₆₇×#1844	C₂	semidirect
12. C₈×D₂₆₈	C₄	semidirect
50. #14523975	D₄	semidirect
154. C₄×C₆₇	#427	semidirect
174. #1844	D₆₇	semidirect
177. C₆₇	#22657	semidirect
326. C₄	#16863431	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₂₆₈	2
C₂×#16863431	2
#22563160	2
#22560965	2
#22560407	2
#22560231	2
C₄×#14523975	2
C₆₇×#1844	2
#22657	67