Subgroups — #30874131

Order 17152.

1050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863509	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×D₅₃₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22563120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22560947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22560459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22560373	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#22560220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₆₇×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₅₃₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#16863509	—	2	8	no	—
13	C₄×D₅₃₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#14523977	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#14523977	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#14523975	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14523965	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#14523965	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863294	C₂²	1	4	yes	—
20	#16863267	—	2	4	no	—
21	#16863262	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863255	—	2	2	no	—
23	#95×D₆₇	—	2	2	no	—
24	#16863159	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#97×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
33	C₂×D₅₃₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×D₅₃₆	D₄	1	4	yes	—
35	C₂×D₅₃₆	Q₈	1	4	yes	—
36	C₄×D₂₆₈	—	2	8	no	—
37	C₄×D₂₆₈	—	2	4	no	—
38	C₄×D₂₆₈	—	4	4	no	—
39	C₄×D₂₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
45	#14523977	—	4	2	no	—
46	#14523977	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
47	#14523975	—	2	4	no	—
48	#14523965	—	2	8	no	—
49	#14523965	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
51	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
52	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
60	#97×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#95×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
63	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
64	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
65	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
66	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
67	C₂×D₂₆₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×D₂₆₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
69	C₂×D₂₆₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
70	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×D₆₇	—	4	8	no	—
74	C₂×C₄×D₆₇	—	4	8	no	—
75	C₂×C₄×D₆₇	—	8	4	no	—
76	C₂×C₄×D₆₇	—	8	4	no	—
77	D₅₃₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
78	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
79	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
80	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
81	C₄⋊Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	Dic₆₇⋊C₄	—	8	4	no	—
83	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	8	no	—
84	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
90	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
91	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₈×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
99	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₄²×C₆₇	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
124	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
125	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
127	D₂₆₈	—	2	4	no	—
128	D₂₆₈	—	2	4	no	—
129	D₂₆₈	—	2	4	no	—
130	D₂₆₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₄×D₆₇	—	8	8	no	—
132	C₄×D₆₇	—	8	16	no	—
133	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
135	C₈×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₆₇	D₄²	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₆₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₆₇	#575	1	2	yes	—
140	C₂²×C₆₇	#576	1	2	yes	—
141	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
142	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
143	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
144	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
145	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
146	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
147	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
148	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
149	C₄×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₆₇	#520	1	1	yes	characteristic
151	C₄×C₆₇	#547	1	1	yes	characteristic
152	C₄×C₆₇	#554	1	1	yes	characteristic
153	Dic₆₇	—	4	4	no	—
154	Dic₆₇	—	8	4	no	—
155	#22672	—	67	1	no	maximal, Sylow
156	C₂×C₆₇	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₆₇	#2943	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₆₇	#2948	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₆₇	#3273	1	2	yes	—
160	C₂×C₆₇	#3389	1	2	yes	—
161	D₆₇	—	4	8	no	—
162	C₂×#442	—	67	2	no	—
163	C₂×C₄×D₈	—	67	1	no	—
164	#2349	—	67	2	no	—
165	#1943	—	67	2	no	—
166	#1862	—	67	4	no	—
167	#1846	—	67	1	no	—
168	#1804	—	67	2	no	—
169	#1770	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₆₇	#22672	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
171	C₂²×D₈	—	67	1	no	—
172	C₂×C₄×D₄	—	67	4	no	—
173	C₂×C₄×D₄	—	67	2	no	—
174	#442	—	134	8	no	—
175	C₄×D₈	—	67	8	no	—
176	C₂×#107	—	67	2	no	—
177	C₂×#107	—	67	1	no	—
178	C₂×#106	—	67	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
180	C₂×#102	—	67	2	no	—
181	C₂×#102	—	67	4	no	—
182	C₂×#97	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
183	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
184	#389	—	67	4	no	—
185	#385	—	134	4	no	—
186	#382	—	67	2	no	—
187	#380	—	134	2	no	—
188	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂×#95	—	134	2	no	—
190	#340	—	67	4	no	—
191	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
192	C₂²×D₄	—	67	2	no	—
193	C₂³×C₄	—	134	4	no	—
194	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
195	C₂×D₈	—	67	4	no	—
196	C₂×D₈	—	67	4	no	—
197	C₂×D₈	—	67	4	no	—
198	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
199	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
201	C₄×D₄	—	268	4	no	—
202	C₄×D₄	—	67	8	no	—
203	C₄×D₄	—	134	8	no	—
204	C₄×D₄	—	134	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
211	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
213	#107	—	268	2	no	—
214	#107	—	67	4	no	—
215	#106	—	134	4	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
217	#102	—	67	8	no	—
218	#102	—	134	8	no	—
219	#97	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	complemented
221	#95	—	134	2	no	—
222	#95	—	134	4	no	—
223	#95	—	134	2	no	—
224	#95	D₂₆₈	1	2	yes	—
225	C₂⁴	—	134	2	no	—
226	C₂×D₄	—	67	4	no	—
227	C₂×D₄	—	67	4	no	—
228	C₂×D₄	—	67	4	no	—
229	C₂×D₄	—	134	2	no	—
230	C₂×D₄	—	134	2	no	—
231	C₂×D₄	—	134	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	536	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	536	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
243	D₈	—	67	16	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	536	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
264	C₄²	#11761628	1	2	yes	—
265	C₂³	—	268	4	no	—
266	C₂³	—	268	4	no	—
267	C₂³	—	134	4	no	—
268	C₂³	—	134	4	no	—
269	C₂³	—	134	4	no	—
270	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
271	D₄	—	67	8	no	—
272	D₄	—	134	4	no	—
273	D₄	—	134	4	no	—
274	D₄	—	134	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	268	4	no	—
281	C₂×C₄	—	268	4	no	—
282	C₂×C₄	—	268	4	no	—
283	C₂×C₄	—	268	4	no	—
284	C₂×C₄	—	536	8	no	—
285	C₂×C₄	—	536	16	no	—
286	C₂×C₄	—	134	4	no	—
287	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#14524089	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#14524090	1	1	yes	characteristic
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	4	2	no	—
297	C₈	C₄⋊C₄×D₆₇	1	4	yes	—
298	C₂²	—	268	8	no	—
299	C₂²	—	268	4	no	—
300	C₂²	—	268	4	no	—
301	C₂²	—	268	8	no	—
302	C₂²	—	134	8	no	—
303	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	D₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	Q₈×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#16864196	1	2	yes	—
307	C₂²	#16864201	1	2	yes	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	268	4	no	—
312	C₄	—	536	4	no	—
313	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#16863876	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#16864051	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#16864106	1	1	yes	characteristic
317	C₂	—	268	8	no	—
318	C₂	C₄⋊C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#22569011	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#22569062	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#22571821	1	2	yes	—
322	C₂	#22573169	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1770	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₅₃₆	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1770	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22672
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ #1770

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22563120	C₂	semidirect
4. #22560947	C₂	semidirect
5. #22560459	C₂	semidirect
6. #22560373	C₂	semidirect
7. #22560220	C₂	semidirect
8. C₆₇×#1770	C₂	semidirect
13. C₄×D₅₃₆	C₄	semidirect
39. C₄×D₂₆₈	C₂×C₄	semidirect
46. #14523977	C₂×C₄	semidirect
49. #14523965	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	semidirect
77. D₅₃₆	C₄⋊C₄	semidirect
169. #1770	D₆₇	semidirect
170. C₆₇	#22672	semidirect
220. C₄×C₈	C₄×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863509	2
C₂×C₄×D₅₃₆	2
#22563120	2
#22560947	2
#22560459	2
#22560373	2
#22560220	2
C₆₇×#1770	2
#22672	67