Subgroups — #30874158

Order 17152.

898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863504	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22563129	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22560947	C₂	1	2	yes	maximal
5	#22560466	C₂	1	4	yes	maximal
6	#22560373	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#22560225	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₆₇×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
12	#16863504	—	2	8	no	—
13	C₄×Dic₂₆₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#14523977	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#14523977	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#14523975	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14523968	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#14523968	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863294	C₂²	1	4	yes	—
20	#16863291	—	2	4	no	—
21	#16863262	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863260	—	2	2	no	—
23	#16863247	—	2	2	no	—
24	#16863159	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#97×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	4	yes	—
33	C₂×Dic₂₆₈	Q₈	1	4	yes	—
34	C₄×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
35	C₄×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
36	C₄×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
37	C₄×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	4	no	—
45	#14523977	—	4	2	no	—
46	#14523977	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#14523975	—	2	4	no	—
48	#14523968	—	2	8	no	—
49	#14523968	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
51	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
52	C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
60	#97×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#95×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
64	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
65	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
66	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
68	C₂×Dic₁₃₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
69	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
72	Dic₂₆₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
73	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
74	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
75	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
76	C₄⋊Dic₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
78	Dic₆₇⋊C₄	—	4	8	no	—
79	Dic₆₇⋊C₄	—	4	8	no	—
80	C₄×Dic₆₇	—	2	8	no	—
81	C₄×Dic₆₇	—	4	8	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
87	C₂×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
88	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₈×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
96	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
97	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₆₇	#41	1	2	yes	—
100	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
115	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
119	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
120	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
121	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
122	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
123	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
124	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
125	Dic₁₃₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
126	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
127	C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
128	C₈×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₆₇	D₄²	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₆₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₆₇	#575	1	2	yes	—
133	C₂²×C₆₇	#578	1	2	yes	—
134	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
135	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
136	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
137	C₄×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₆₇	#520	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₆₇	#547	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₆₇	#554	1	1	yes	characteristic
141	Dic₆₇	—	2	8	no	—
142	Dic₆₇	—	4	4	no	—
143	Dic₆₇	—	8	4	no	—
144	#22675	—	67	1	no	maximal, Sylow
145	C₂×C₆₇	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₆₇	#2943	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₆₇	#2950	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₆₇	#3277	1	2	yes	—
149	C₂×C₆₇	#3390	1	2	yes	—
150	C₂×#441	—	67	2	no	—
151	C₂×C₄×Q₁₆	—	67	1	no	—
152	#2351	—	67	2	no	—
153	#1943	—	67	2	no	—
154	#1863	—	67	4	no	—
155	#1846	—	67	1	no	—
156	#1805	—	67	2	no	—
157	#1770	D₆₇	1	1	yes	characteristic
158	C₆₇	#22675	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
159	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
160	C₂×C₄×Q₈	—	67	4	no	—
161	C₂×C₄×Q₈	—	67	2	no	—
162	#441	—	134	8	no	—
163	C₄×Q₁₆	—	67	8	no	—
164	C₂×#107	—	67	2	no	—
165	C₂×#107	—	67	1	no	—
166	C₂×#106	—	67	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
168	C₂×#103	—	67	2	no	—
169	C₂×#103	—	67	4	no	—
170	C₂×#97	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
171	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
172	#389	—	67	4	no	—
173	#389	—	134	4	no	—
174	#382	—	67	2	no	—
175	#382	—	134	2	no	—
176	C₄×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
177	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
178	#340	—	67	4	no	—
179	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
180	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
181	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
182	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
183	C₂×Q₁₆	—	67	4	no	—
184	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₄×Q₈	—	268	4	no	—
188	C₄×Q₈	—	67	8	no	—
189	C₄×Q₈	—	134	8	no	—
190	C₄×Q₈	—	134	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	—	134	4	no	—
198	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	268	2	no	—
202	#107	—	67	4	no	—
203	#106	—	134	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	#103	—	67	8	no	—
206	#103	—	134	8	no	—
207	#97	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	C₄×D₆₇	1	4	yes	—
209	#95	—	134	2	no	—
210	#95	—	134	2	no	—
211	#95	—	134	4	no	—
212	#95	D₂₆₈	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
226	Q₁₆	—	67	16	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	268	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	268	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	268	8	no	—
247	C₄²	—	134	8	no	—
248	C₄²	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
249	C₄²	#11761628	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	67	8	no	—
252	Q₈	—	134	4	no	—
253	Q₈	—	134	4	no	—
254	Q₈	—	134	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	268	4	no	—
261	C₂×C₄	—	268	4	no	—
262	C₂×C₄	—	268	4	no	—
263	C₂×C₄	—	268	4	no	—
264	C₂×C₄	—	134	4	no	—
265	C₂×C₄	—	134	4	no	—
266	C₂×C₄	—	134	4	no	—
267	C₂×C₄	—	134	4	no	—
268	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#14524089	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#14524090	1	1	yes	characteristic
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	—	4	2	no	—
278	C₈	C₄⋊C₄×D₆₇	1	4	yes	—
279	C₂²	C₂×C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	D₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	Q₈×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#16864196	1	2	yes	—
283	C₂²	#16864213	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	268	4	no	—
288	C₄	—	536	4	no	—
289	C₄	—	134	8	no	—
290	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#16863876	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#16864051	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#16864106	1	1	yes	characteristic
294	C₂	C₄⋊C₄×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#22569011	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#22569078	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#22571867	1	2	yes	—
298	C₂	#22573178	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1770	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#1770	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22675
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ #1770

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₄×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
72. Dic₂₆₈	C₄⋊C₄	semidirect
158. C₆₇	#22675	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863504	2
C₂×C₄×Dic₂₆₈	2
#22563129	2
#22560947	2
#22560466	2
#22560373	2
#22560225	2
C₆₇×#1770	2
#22675	67