Subgroups — #30874600

Order 17152.

822 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×#11761612	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22560985	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22560416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22560347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22560247	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#14523979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#16863161	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₈×D₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11761612	C₂²	1	4	yes	—
10	#16863474	—	2	2	no	—
11	#16863468	—	2	4	no	—
12	D₄×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
13	C₂×#14523979	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#14523979	C₂²	1	4	yes	—
15	#16863420	C₂²	1	2	yes	—
16	#16863360	C₂²	1	4	yes	—
17	C₄×#11761612	C₂²	1	2	yes	—
18	#16863161	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863161	C₂²	1	2	yes	—
20	#16863161	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16863161	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16863161	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₈×D₄×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
26	C₈×D₄×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
27	C₈×D₄×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#11761612	—	2	8	no	—
32	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
33	C₂×#11761612	—	4	4	no	—
34	C₂×#11761612	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11761612	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×#11761612	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
38	#14523979	—	2	4	no	—
39	#14523979	—	4	4	no	—
40	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
41	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
42	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
43	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	4	no	—
44	#14523954	—	2	2	no	—
45	C₄×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄×C₆₇	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
49	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₄×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₄×D₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₄×D₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×D₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	Q₈	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	Q₈	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄⋊C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#11761612	—	2	2	no	—
70	#11761612	—	2	2	no	—
71	#11761612	—	2	4	no	—
72	#11761612	—	2	2	no	—
73	#11761612	—	2	4	no	—
74	#11761612	—	4	8	no	—
75	#11761612	#41	1	4	yes	—
76	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
80	C₂⁴×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
83	C₂×D₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×D₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
99	C₂×C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₄⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₄⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
120	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
121	D₄×C₆₇	—	2	2	no	—
122	D₄×C₆₇	#108	1	4	yes	complemented
123	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
142	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
143	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
144	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
145	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
147	C₆₇⋊C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₆₇	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
156	C₂²×C₆₇	C₂×#108	1	4	yes	—
157	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₆₇	#554	1	2	yes	—
159	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
160	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
161	C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
162	C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
163	C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
164	C₄×C₆₇	C₂×#108	1	2	yes	—
165	C₄×C₆₇	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₆₇	#546	1	2	yes	—
168	#22717	—	67	1	no	maximal, Sylow
169	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
170	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
171	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
172	C₂×C₆₇	#2349	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₆₇	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₆₇	#2916	1	1	yes	characteristic
175	D₄×M₁₆	—	67	2	no	—
176	C₂×C₈×D₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
177	#1950	—	67	2	no	—
178	#1855	—	67	4	no	—
179	#1837	—	67	1	no	—
180	#1810	—	67	2	no	—
181	C₄×#108	—	67	1	no	—
182	C₂×#341	—	67	2	no	—
183	C₆₇	#22717	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
184	C₂²×M₁₆	—	67	4	no	—
185	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
186	C₂×C₄×D₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
187	#436	—	134	2	no	—
188	#435	—	134	4	no	—
189	C₈×D₄	—	134	2	no	—
190	C₈×D₄	Dic₆₇	1	4	yes	—
191	C₈×D₄	Dic₆₇	1	2	yes	—
192	C₈×D₄	Dic₆₇	1	2	yes	—
193	C₂×#108	—	67	4	no	—
194	C₂×#108	—	67	2	no	—
195	#423	—	67	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
197	#407	—	67	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
199	C₄×M₁₆	—	67	2	no	—
200	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
201	#341	—	67	1	no	—
202	#341	—	67	2	no	—
203	#341	—	67	2	no	—
204	#341	—	67	4	no	—
205	#341	—	67	1	no	—
206	C₂²×D₄	Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
208	C₂×M₁₆	—	268	4	no	—
209	C₂×M₁₆	—	67	2	no	—
210	C₂×M₁₆	—	67	4	no	—
211	C₂×M₁₆	—	67	2	no	—
212	C₂×M₁₆	—	134	8	no	—
213	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
214	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
216	C₂²×C₈	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
217	C₂²×C₈	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
218	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
220	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
221	C₄×D₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
222	C₄×D₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
223	C₄×D₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
224	C₄×D₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
225	C₄×D₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
226	C₄×D₄	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄⋊C₄	Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₂²⋊C₄	Dic₁₃₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
230	#108	—	268	4	no	—
231	#108	—	134	4	no	—
232	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
233	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
234	C₄⋊C₈	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₈	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
236	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	134	4	no	—
238	C₂²⋊C₈	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
239	C₂²⋊C₈	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
240	#97	—	134	2	no	—
241	C₄×C₈	—	134	2	no	—
242	C₄×C₈	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
243	C₄×C₈	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
244	C₂⁴	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
248	C₂×D₄	C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
259	M₁₆	—	268	8	no	—
260	M₁₆	—	67	4	no	—
261	M₁₆	—	134	2	no	—
262	M₁₆	—	134	4	no	—
263	M₁₆	—	134	2	no	—
264	M₁₆	—	134	4	no	—
265	M₁₆	—	134	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	268	8	no	—
272	C₂×C₈	—	134	2	no	—
273	C₂×C₈	—	134	4	no	—
274	C₂×C₈	—	134	2	no	—
275	C₂×C₈	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
280	C₄⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
281	C₂²⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
282	C₂²⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	2	2	no	—
297	D₄	#14523979	1	4	yes	complemented
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#41×D₆₇	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	268	4	no	—
321	C₈	—	268	2	no	—
322	C₈	—	134	4	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	C₂×#14523979	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16864105	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	C₂×#14523979	1	2	yes	—
340	C₄	#41×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#16863871	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#16864041	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	#22563119	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂²×#14523979	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#22568820	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈
commutator	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₂×C₈×D₄×C₆₇	C₂
socle	C₂²×C₆₇	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄×C₆₇	Q₈
cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₈×D₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#22717
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22560985	C₂	semidirect
3. #22560416	C₂	semidirect
4. #22560347	C₂	semidirect
5. #22560247	C₂	semidirect
6. C₄×#14523979	C₂	semidirect
7. C₂×#16863161	C₂	semidirect
122. D₄×C₆₇	#108	semidirect
183. C₆₇	#22717	semidirect
297. D₄	#14523979	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×#11761612	2
#22560985	2
#22560416	2
#22560347	2
#22560247	2
C₄×#14523979	2
C₂×#16863161	2
C₂×C₈×D₄×C₆₇	2
#22717	67