Subgroups — C₂×#22561357 #30883116

Order 17152.

1302 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14523966	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16863302	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22561357	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#16863158	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#16863151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×#125×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#14523966	—	2	8	no	—
11	C₂×#14523966	C₂²	1	8	yes	—
12	#16863302	—	2	2	no	—
13	#16863302	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₆₇⋊#95	—	2	2	no	—
15	#16863158	C₂²	1	8	yes	—
16	#16863151	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#125×C₆₇	—	2	8	no	—
18	C₂×#125×C₆₇	—	2	2	no	—
19	C₂×#125×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	1	no	—
24	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
26	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
27	C₂²×Dic₁₃₄	Q₈	1	4	yes	—
28	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
30	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
38	#14523966	—	2	16	no	—
39	C₆₇⋊#95	—	2	8	no	—
40	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#125×C₆₇	—	2	16	no	—
44	#125×C₆₇	—	2	16	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
55	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
56	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
57	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
58	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
59	C₂×Dic₁₃₄	—	4	2	no	—
60	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
61	C₂×Dic₁₃₄	—	4	2	no	—
62	C₂×Dic₁₃₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
63	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
67	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
68	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
69	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
70	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
74	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
75	C₄⋊Dic₆₇	—	4	2	no	—
76	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	32	no	—
92	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
93	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
95	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
96	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₆₇	#120	1	2	yes	—
98	C₂³×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₆₇	#124	1	2	yes	—
100	C₂³×C₆₇	#135	1	4	yes	—
101	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
102	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	#120	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
121	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
122	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
123	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
125	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂×Dic₆₇	—	8	4	no	—
127	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
128	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
129	Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
130	C₆₇⋊C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₆₇	#393	1	4	yes	—
132	C₂²×C₆₇	#452	1	8	yes	—
133	C₂²×C₆₇	#479	1	8	yes	—
134	C₂²×C₆₇	#488	1	4	yes	—
135	C₂²×C₆₇	#491	1	4	yes	—
136	C₂²×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	2	yes	—
140	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	2	yes	—
141	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
142	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
143	C₄×C₆₇	#393	1	4	yes	—
144	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
145	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	2	yes	—
146	Dic₆₇	—	4	4	no	—
147	Dic₆₇	—	8	2	no	—
148	C₂×#2026	—	67	1	no	maximal, Sylow
149	C₂×C₆₇	#2026	1	8	yes	complemented
150	C₂×C₆₇	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₆₇	C₂×#452	1	2	yes	—
152	C₂×C₆₇	C₂×#479	1	2	yes	—
153	C₂×C₆₇	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₆₇	C₂×#491	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×#125	D₆₇	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×#103	—	67	2	no	—
157	C₂×#391	—	67	1	no	—
158	#2026	—	67	8	no	—
159	C₂×#340	—	67	2	no	—
160	C₂×#336	—	67	1	no	—
161	C₆₇	C₂×#2026	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
162	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
163	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
164	C₂×#125	—	2	8	no	—
165	C₂×#125	—	2	2	no	—
166	C₂×#125	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
171	C₂×#103	—	67	8	no	—
172	C₂×#103	—	134	8	no	—
173	#391	—	67	4	no	—
174	#391	—	134	2	no	—
175	C₂×#95	—	134	2	no	—
176	#340	—	67	8	no	—
177	#336	—	67	4	no	—
178	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
179	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
180	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
181	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
182	C₂²×Q₈	—	134	1	no	—
183	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
184	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
187	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
188	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
190	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
191	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
192	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
193	#125	—	2	16	no	—
194	#125	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
207	#103	—	134	16	no	—
208	#95	—	134	8	no	—
209	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	268	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	268	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#11761629	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#11761629	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	—	268	8	no	—
241	C₂×C₈	—	134	4	no	—
242	C₂×C₈	—	134	4	no	—
243	C₂×C₈	—	134	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	268	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
249	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₂³	#14524012	1	2	yes	—
253	C₂³	#14524019	1	2	yes	—
254	C₂³	#14524032	1	2	yes	—
255	C₂³	#14524063	1	4	yes	—
256	C₂³	#14524073	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	268	8	no	—
259	Q₈	—	268	4	no	—
260	Q₈	—	134	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	268	8	no	—
270	C₂×C₄	—	268	2	no	—
271	C₂×C₄	—	268	2	no	—
272	C₂×C₄	—	268	2	no	—
273	C₂×C₄	—	268	4	no	—
274	C₂×C₄	—	536	4	no	—
275	C₂×C₄	—	134	4	no	—
276	C₂×C₄	#14524012	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#14524019	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#14524019	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	#14524032	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#14524032	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	268	4	no	—
286	C₂²	#16863307	1	4	yes	—
287	C₂²	#16863558	1	8	yes	—
288	C₂²	#16863700	1	8	yes	—
289	C₂²	#16863753	1	4	yes	—
290	C₂²	#16863766	1	4	yes	—
291	C₂²	C₂×#14524012	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#14524019	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#14524032	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#14524063	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂×#14524073	1	2	yes	—
296	C₄	—	4	4	no	—
297	C₄	—	4	8	no	—
298	C₄	—	268	4	no	—
299	C₄	—	536	2	no	—
300	C₄	#16863307	1	4	yes	—
301	C₄	C₂×#14524019	1	2	yes	—
302	C₄	C₂×#14524032	1	2	yes	—
303	C₂	#22561357	1	8	yes	direct product factor
304	C₂	C₂×#16863307	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×#16863558	1	2	yes	—
306	C₂	C₂×#16863700	1	2	yes	—
307	C₂	C₂×#16863753	1	1	yes	characteristic
308	C₂	C₂×#16863766	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₂²×#125×C₆₇	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×#125	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#2026
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22561357	C₂	direct (N × H)
149. C₂×C₆₇	#2026	semidirect
161. C₆₇	C₂×#2026	semidirect
303. C₂	#22561357	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14523966	2
C₂×#16863302	2
#22561357	2
C₂×#16863158	2
C₂×#16863151	2
C₂²×#125×C₆₇	2
C₂×#2026	67

Subgroups — C2×#22561357 #30883116

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22561357 #30883116