Subgroups — #30883143

Order 17152.

1282 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16863398	C₂	1	2	yes	maximal
3	#22562699	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22561361	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22561356	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22559929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11761628	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#14524035	—	2	8	no	—
10	C₂×#14524035	—	2	2	no	—
11	C₂×#14524035	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#14524002	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
15	#16863398	—	2	8	no	—
16	C₂×#14523968	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#14523965	C₂²	1	4	yes	—
18	#16863302	C₂²	1	2	yes	—
19	#16863298	C₂²	1	2	yes	—
20	#16863275	—	2	2	no	—
21	C₄×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
22	#16863159	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#336×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
27	C₂×#11761628	—	2	2	no	—
28	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
29	C₂×#11761628	Q₈	1	4	yes	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	1	no	—
33	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	1	no	—
35	#14524035	—	2	16	no	—
36	#14524035	—	2	16	no	—
37	#14524002	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₆₇	D₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
44	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	8	no	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
46	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	1	no	—
48	#14523968	—	2	8	no	—
49	#14523965	—	2	8	no	—
50	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×D₆₇	—	2	1	no	—
61	#11761628	—	2	16	no	—
62	#11761628	—	4	8	no	—
63	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
64	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
65	C₂×Dic₁₃₄	—	2	1	no	—
66	C₂×Dic₁₃₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
67	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
68	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
69	C₂×D₂₆₈	—	2	1	no	—
70	C₂×D₂₆₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	2	no	—
74	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
75	C₂²×Dic₆₇	—	2	1	no	—
76	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
78	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
79	C₂×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
81	C₂×C₄×D₆₇	—	4	2	no	—
82	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
83	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
84	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
85	C₄⋊Dic₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
86	Dic₆₇⋊C₄	—	2	32	no	—
87	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	2	no	—
88	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
89	C₄×Dic₆₇	—	4	2	no	—
90	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₆₇	#120	1	2	yes	—
108	C₂³×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₆₇	#124	1	2	yes	—
110	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₆₇	—	4	1	no	—
114	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	#120	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	8	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂²⋊D₆₇	—	4	8	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	4	1	no	—
133	C₂×Dic₆₇	—	4	1	no	—
134	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
135	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
137	D₂₆₈	—	2	4	no	—
138	D₂₆₈	—	4	2	no	—
139	C₄×D₆₇	—	4	8	no	—
140	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
141	Dic₁₃₄	—	4	2	no	—
142	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₆₇	#393	1	4	yes	—
147	C₂²×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₆₇	#575	1	4	yes	—
151	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
152	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
153	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
154	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
155	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
156	C₄×C₆₇	#393	1	4	yes	—
157	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	2	yes	—
159	Dic₆₇	—	4	2	no	—
160	Dic₆₇	—	4	8	no	—
161	Dic₆₇	—	8	2	no	—
162	#23453	—	67	1	no	maximal, Sylow
163	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
164	C₂×C₆₇	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₆₇	#3005	1	2	yes	—
166	C₂×C₆₇	#3080	1	2	yes	—
167	C₂×C₆₇	#3142	1	2	yes	—
168	D₆₇	—	8	2	no	—
169	C₂²×#125	—	67	1	no	—
170	C₂×#417	—	67	2	no	—
171	#2297	—	67	1	no	—
172	#2026	—	67	4	no	—
173	#2025	—	67	4	no	—
174	#1736	—	67	2	no	—
175	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
176	C₆₇	#23453	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
177	C₂²×#41	—	67	1	no	—
178	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
179	C₂×#125	—	67	4	no	—
180	C₂×#125	—	134	8	no	—
181	C₂×#125	—	134	2	no	—
182	C₂×#117	—	67	1	no	—
183	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
184	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
185	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
186	#417	—	134	8	no	—
187	C₂×#103	—	67	4	no	—
188	C₂×#102	—	67	4	no	—
189	#391	—	67	2	no	—
190	#390	—	67	2	no	—
191	#386	—	134	2	no	—
192	C₄×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
193	#340	—	67	8	no	—
194	#336	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
195	C₂×#41	—	67	4	no	—
196	C₂×#41	—	134	4	no	—
197	C₂×#41	—	134	4	no	—
198	C₂×#41	—	134	2	no	—
199	C₂²×Q₈	—	67	1	no	—
200	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
201	C₂²×D₄	—	134	1	no	—
202	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
203	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
204	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
208	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
210	#125	—	134	16	no	—
211	#125	—	134	16	no	—
212	#117	—	134	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄²	—	134	1	no	—
224	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
226	#103	—	134	8	no	—
227	#102	—	134	8	no	—
228	#95	—	134	4	no	—
229	C₂⁴	—	134	1	no	—
230	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	268	8	no	—
232	#41	—	134	16	no	—
233	C₂×Q₈	—	67	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	134	1	no	—
237	C₂×D₄	—	268	2	no	—
238	C₂×D₄	—	268	2	no	—
239	C₂×D₄	—	67	2	no	—
240	C₂×D₄	—	134	4	no	—
241	C₂×D₄	—	134	2	no	—
242	C₂×D₄	—	134	1	no	—
243	C₂×D₄	—	134	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	134	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
254	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
261	M₁₆	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	134	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	268	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	268	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	268	1	no	—
277	C₂³	—	268	1	no	—
278	C₂³	—	268	4	no	—
279	C₂³	—	134	2	no	—
280	C₂³	#14524013	1	2	yes	—
281	C₂³	#14524023	1	2	yes	—
282	C₂³	#14524031	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	268	2	no	—
285	Q₈	—	134	4	no	—
286	D₄	—	268	8	no	—
287	D₄	—	268	2	no	—
288	D₄	—	134	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	268	16	no	—
294	C₂×C₄	—	268	1	no	—
295	C₂×C₄	—	268	1	no	—
296	C₂×C₄	—	268	8	no	—
297	C₂×C₄	—	268	8	no	—
298	C₂×C₄	—	268	2	no	—
299	C₂×C₄	—	268	4	no	—
300	C₂×C₄	—	134	8	no	—
301	C₂×C₄	—	134	2	no	—
302	C₂×C₄	#14524013	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#14524021	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#14524023	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#14524029	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#14524031	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	268	4	no	—
316	C₂²	—	268	2	no	—
317	C₂²	—	536	2	no	—
318	C₂²	—	536	2	no	—
319	C₂²	#16863309	1	4	yes	—
320	C₂²	C₂×#14524013	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#14524023	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#14524031	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#16864196	1	4	yes	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	268	2	no	—
326	C₄	—	268	8	no	—
327	C₄	—	536	2	no	—
328	C₄	#16863309	1	4	yes	—
329	C₄	C₂×#14524021	1	2	yes	—
330	C₄	C₂×#14524029	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	4	no	—
332	C₂	—	536	2	no	—
333	C₂	C₂×#16863309	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#22569454	1	2	yes	—
335	C₂	#22570032	1	2	yes	—
336	C₂	#22570610	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11761628	C₂²
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#23453
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#14524035	C₂	semidirect
4. #22561361	C₂	semidirect
5. #22561356	C₂	semidirect
6. #22559929	C₂	semidirect
7. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
175. #1728	D₆₇	semidirect
176. C₆₇	#23453	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524035	2
C₂×#16863398	2
#22562699	2
#22561361	2
#22561356	2
#22559929	2
C₆₇×#1728	2
#23453	67