Subgroups — #30883150

Order 17152.

1482 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863953	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16863402	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16863298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22561356	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22561346	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#22559929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#16863953	—	2	8	no	—
10	C₂×#14524043	C₂²	1	2	yes	complemented
11	C₂×#14524035	C₂²	1	2	yes	complemented
12	C₂×#14524022	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
14	C₂×#14524002	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
17	#16863402	—	2	8	no	—
18	C₂×#14523965	C₂²	1	8	yes	—
19	#16863298	—	2	2	no	—
20	#16863298	C₂²	1	2	yes	—
21	#16863298	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863159	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂⁴×D₆₇	—	2	1	no	—
28	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₆₈	—	2	1	no	—
31	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	Q₈	1	4	yes	complemented
34	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
36	#14524043	—	2	8	no	—
37	#14524035	—	2	8	no	—
38	#14524022	—	2	16	no	—
39	C₄×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
40	#14524002	—	2	4	no	—
41	#14524002	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
53	#14523965	—	2	16	no	—
54	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
66	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
68	C₂³×D₆₇	—	4	2	no	—
69	C₂³×D₆₇	—	4	2	no	—
70	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
71	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
72	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	2	16	no	—
74	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
75	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
76	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
77	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
78	C₂×D₂₆₈	—	4	2	no	—
79	C₂×D₂₆₈	—	4	8	no	—
80	C₂×D₂₆₈	—	4	2	no	—
81	C₂×D₂₆₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
82	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
86	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
87	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
88	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
89	C₄⋊Dic₆₇	—	4	2	no	—
90	C₄⋊Dic₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
91	Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
93	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
94	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
95	C₄×Dic₆₇	—	2	8	no	—
96	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
109	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
112	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₆₇	#120	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
119	C₂³×C₆₇	#124	1	2	yes	—
120	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₆₇	—	4	16	no	—
123	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₆₇	—	8	4	no	—
129	C₂²×D₆₇	—	8	4	no	—
130	C₂²×D₆₇	—	8	8	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	#120	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	8	yes	—
141	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
148	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
150	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₆₇	—	8	4	no	—
153	D₂₆₈	—	2	8	no	—
154	D₂₆₈	—	4	4	no	—
155	D₂₆₈	—	4	8	no	—
156	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
157	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₆₇	#393	1	4	yes	—
163	C₂²×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₆₇	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
167	C₂²×C₆₇	#575	1	2	yes	—
168	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
169	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
170	C₂×D₆₇	—	8	16	no	—
171	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
172	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
173	C₂×D₆₇	—	8	4	no	—
174	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
175	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
176	C₄×C₆₇	#393	1	4	yes	—
177	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
178	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	2	yes	—
179	Dic₆₇	—	4	8	no	—
180	Dic₆₇	—	8	2	no	—
181	#23454	—	67	1	no	maximal, Sylow
182	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
183	C₂×C₆₇	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₆₇	#3006	1	2	yes	—
185	C₂×C₆₇	#3077	1	2	yes	—
186	C₂×C₆₇	#3138	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₆₇	#3140	1	1	yes	characteristic
188	D₆₇	—	8	4	no	—
189	C₂×#533	—	67	1	no	—
190	C₂×#418	—	67	2	no	—
191	C₂×#390	—	67	1	no	—
192	#2025	—	67	4	no	—
193	#2023	—	67	4	no	—
194	#1736	—	67	2	no	—
195	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
196	C₆₇	#23454	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
198	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
199	#533	—	134	8	no	—
200	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	2	no	—
201	C₂×#125	—	67	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊Q₈	—	134	2	no	—
203	C₂×C₄×Q₈	—	134	2	no	—
204	C₂×#117	—	67	2	no	—
205	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
206	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
207	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
208	#418	—	134	8	no	—
209	C₂×#102	—	67	8	no	—
210	#390	—	67	2	no	—
211	#390	—	67	2	no	—
212	#390	—	134	2	no	—
213	#340	—	67	8	no	—
214	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	complemented
215	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	complemented
216	C₂⁵	—	134	1	no	—
217	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	67	4	no	—
219	C₂²×D₄	—	67	2	no	—
220	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
221	C₂²×D₄	—	134	1	no	—
222	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
223	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
224	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
225	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
226	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
227	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
231	C₄⋊Q₈	—	134	8	no	—
232	#125	—	134	8	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	134	16	no	—
234	C₄×Q₈	—	134	16	no	—
235	#117	—	67	8	no	—
236	#117	—	134	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
249	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	2	yes	—
250	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	#102	—	134	16	no	—
253	C₂⁴	—	268	4	no	—
254	C₂⁴	—	268	4	no	—
255	C₂⁴	—	268	2	no	—
256	C₂⁴	—	268	2	no	—
257	C₂⁴	—	134	4	no	—
258	C₂⁴	—	134	2	no	—
259	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
263	C₂×D₄	—	268	2	no	—
264	C₂×D₄	—	268	8	no	—
265	C₂×D₄	—	268	2	no	—
266	C₂×D₄	—	67	4	no	—
267	C₂×D₄	—	134	16	no	—
268	C₂×D₄	—	134	4	no	—
269	C₂×D₄	—	134	4	no	—
270	C₂×D₄	—	134	2	no	—
271	C₂×D₄	—	134	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
279	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	268	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
294	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	134	8	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	134	8	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	268	16	no	—
307	C₂³	—	268	8	no	—
308	C₂³	—	268	2	no	—
309	C₂³	—	268	2	no	—
310	C₂³	—	268	4	no	—
311	C₂³	—	268	4	no	—
312	C₂³	—	536	4	no	—
313	C₂³	—	536	4	no	—
314	C₂³	—	536	8	no	—
315	C₂³	—	134	4	no	—
316	C₂³	#14524013	1	2	yes	—
317	C₂³	#14524023	1	2	yes	—
318	C₂³	#14524031	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	268	16	no	—
321	D₄	—	268	8	no	—
322	D₄	—	268	4	no	—
323	D₄	—	134	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	268	4	no	—
331	C₂×C₄	—	268	4	no	—
332	C₂×C₄	—	268	2	no	—
333	C₂×C₄	—	268	4	no	—
334	C₂×C₄	—	536	4	no	—
335	C₂×C₄	—	134	8	no	—
336	C₂×C₄	#14524013	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#14524021	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#14524023	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#14524029	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#14524031	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#14524071	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	2	yes	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	268	8	no	—
352	C₂²	—	268	4	no	—
353	C₂²	—	536	16	no	—
354	C₂²	—	536	2	no	—
355	C₂²	—	536	2	no	—
356	C₂²	—	536	4	no	—
357	C₂²	#16863309	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂×#14524013	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#14524023	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#14524031	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#14524071	1	2	yes	—
362	C₂²	#16864196	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	268	8	no	—
366	C₄	—	536	2	no	—
367	C₄	#16863309	1	4	yes	—
368	C₄	C₂×#14524021	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×#14524029	1	2	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	536	4	no	—
372	C₂	C₂×#16863309	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#22569463	1	2	yes	—
374	C₂	#22570008	1	2	yes	—
375	C₂	#22570584	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#22570596	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₆₈	C₂²
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#23454
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16863953	C₂	semidirect
4. #22561356	C₂	semidirect
5. #22561346	C₂	semidirect
6. #22559929	C₂	semidirect
7. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
10. C₂×#14524043	C₂²	semidirect
11. C₂×#14524035	C₂²	semidirect
22. #16863159	C₂²	semidirect
25. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
26. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
33. C₂²×D₂₆₈	Q₈	semidirect
195. #1728	D₆₇	semidirect
196. C₆₇	#23454	semidirect
214. #336	C₂×D₆₇	semidirect
215. #336	C₂×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863953	2
C₂×#16863402	2
C₂×#16863298	2
#22561356	2
#22561346	2
#22559929	2
C₆₇×#1728	2
#23454	67