Subgroups — #30885640

Order 17152.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16863402	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16863298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22562616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22561741	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22561736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#22561729	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₆₇×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#14524002	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
13	#16863438	—	2	8	no	—
14	C₂×#14523977	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#14523975	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16863402	—	2	8	no	—
17	C₂×#14523965	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#14523965	C₂²	1	4	yes	—
19	#16863298	—	2	2	no	—
20	#16863298	C₂²	1	2	yes	—
21	#16863298	C₂²	1	2	yes	—
22	#16863266	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#16863266	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#16863262	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#16863256	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
27	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂⁴×D₆₇	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	—	2	1	no	—
34	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₂₆₈	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
39	#14524002	—	2	4	no	—
40	#14524002	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	2	no	—
53	#14523977	—	2	8	no	—
54	#14523975	—	2	8	no	—
55	#14523965	—	2	8	no	—
56	#14523965	—	2	8	no	—
57	C₆₇⋊#95	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆×C₆₇	D₄	1	8	yes	—
63	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₆₇	—	2	4	no	—
69	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
70	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
71	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₆₇	—	4	2	no	—
73	C₂³×D₆₇	—	4	2	no	—
74	C₂×D₂₆₈	—	2	16	no	—
75	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
76	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
77	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
78	C₂×D₂₆₈	—	2	2	no	—
79	C₂×D₂₆₈	—	4	8	no	—
80	C₂×D₂₆₈	—	4	2	no	—
81	C₂×D₂₆₈	—	4	2	no	—
82	C₂×D₂₆₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
83	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
86	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
87	C₂²×Dic₆₇	—	4	2	no	—
88	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
89	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
90	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
91	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
93	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
94	C₄⋊Dic₆₇	—	4	2	no	—
95	C₄⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
96	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
97	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
98	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	8	no	—
99	C₄×Dic₆₇	—	4	4	no	—
100	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
113	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
115	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
122	C₂³×C₆₇	#123	1	2	yes	—
123	C₂³×C₆₇	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₆₇	—	4	16	no	—
127	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₆₇	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
132	C₂²×D₆₇	—	8	8	no	—
133	C₂²×D₆₇	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₆₇	—	8	4	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	8	yes	—
144	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
157	C₂×Dic₆₇	—	8	4	no	—
158	D₂₆₈	—	2	8	no	—
159	D₂₆₈	—	4	4	no	—
160	D₂₆₈	—	4	8	no	—
161	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₆₇	#399	1	4	yes	—
167	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₆₇	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
171	C₂²×C₆₇	#575	1	2	yes	—
172	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
173	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
174	C₂×D₆₇	—	8	16	no	—
175	C₂×D₆₇	—	8	4	no	—
176	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
177	C₂×D₆₇	—	8	2	no	—
178	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
179	C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
180	C₄×C₆₇	#399	1	4	yes	—
181	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
182	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	2	yes	—
183	Dic₆₇	—	8	2	no	—
184	Dic₆₇	—	8	2	no	—
185	Dic₆₇	—	8	2	no	—
186	#23731	—	67	1	no	maximal, Sylow
187	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
188	C₂×C₆₇	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₆₇	#3077	1	2	yes	—
190	C₂×C₆₇	#3094	1	2	yes	—
191	C₂×C₆₇	#3151	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₆₇	#3153	1	1	yes	characteristic
193	D₆₇	—	8	4	no	—
194	C₂×#428	—	67	2	no	—
195	C₂×#418	—	67	2	no	—
196	C₂×#390	—	67	1	no	—
197	#2285	—	67	1	no	—
198	#2094	—	67	2	no	—
199	#2093	—	67	2	no	—
200	#2092	—	67	4	no	—
201	#1728	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
202	C₆₇	#23731	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
204	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
205	C₂×#117	—	67	2	no	—
206	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
207	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
208	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	#428	—	134	8	no	—
210	C₂×#107	—	67	4	no	—
211	C₂×#106	—	67	4	no	—
212	#418	—	134	8	no	—
213	C₂×#102	—	67	4	no	—
214	C₂×#102	—	67	4	no	—
215	#390	—	67	2	no	—
216	#390	—	67	2	no	—
217	#390	—	134	2	no	—
218	#384	—	67	1	no	—
219	#384	—	67	1	no	—
220	#382	—	67	2	no	—
221	#380	—	134	2	no	—
222	C₄×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
223	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	complemented
224	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	complemented
225	C₂⁵	—	134	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	67	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	67	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	134	1	no	—
229	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
230	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
231	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
232	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
233	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
236	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
237	C₂×M₁₆	D₂₆₈	1	8	yes	—
238	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
239	#117	—	134	4	no	—
240	#117	—	134	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
252	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄²	—	134	2	no	—
254	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
257	#107	—	134	8	no	—
258	#106	—	134	8	no	—
259	#102	—	134	8	no	—
260	#102	—	134	8	no	—
261	#95	—	134	4	no	—
262	C₂⁴	—	268	4	no	—
263	C₂⁴	—	268	4	no	—
264	C₂⁴	—	268	2	no	—
265	C₂⁴	—	268	2	no	—
266	C₂⁴	—	134	4	no	—
267	C₂⁴	—	134	2	no	—
268	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂×D₄	—	268	2	no	—
270	C₂×D₄	—	268	8	no	—
271	C₂×D₄	—	268	2	no	—
272	C₂×D₄	—	67	4	no	—
273	C₂×D₄	—	134	4	no	—
274	C₂×D₄	—	134	16	no	—
275	C₂×D₄	—	134	4	no	—
276	C₂×D₄	—	134	2	no	—
277	C₂×D₄	—	134	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	268	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
286	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	Q₈×D₆₇	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	#11761627	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
294	M₁₆	—	2	16	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	8	yes	—
298	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	268	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	268	8	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	268	4	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	268	16	no	—
316	C₂³	—	268	8	no	—
317	C₂³	—	268	2	no	—
318	C₂³	—	268	4	no	—
319	C₂³	—	268	2	no	—
320	C₂³	—	268	4	no	—
321	C₂³	—	536	4	no	—
322	C₂³	—	536	8	no	—
323	C₂³	—	536	4	no	—
324	C₂³	—	134	4	no	—
325	C₂³	#14524023	1	2	yes	—
326	C₂³	#14524027	1	2	yes	—
327	C₂³	#14524040	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
329	D₄	—	268	8	no	—
330	D₄	—	268	4	no	—
331	D₄	—	134	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	268	4	no	—
339	C₂×C₄	—	268	4	no	—
340	C₂×C₄	—	268	2	no	—
341	C₂×C₄	—	268	2	no	—
342	C₂×C₄	—	268	2	no	—
343	C₂×C₄	—	268	4	no	—
344	C₂×C₄	—	536	4	no	—
345	C₂×C₄	#14524023	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#14524023	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	#14524027	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#14524027	1	8	yes	—
349	C₂×C₄	#14524040	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#14524071	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	268	8	no	—
361	C₂²	—	268	4	no	—
362	C₂²	—	536	16	no	—
363	C₂²	—	536	2	no	—
364	C₂²	—	536	4	no	—
365	C₂²	—	536	2	no	—
366	C₂²	#16863333	1	4	yes	—
367	C₂²	C₂×#14524023	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#14524027	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#14524040	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#14524071	1	2	yes	—
371	C₂²	#16864196	1	2	yes	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	536	2	no	—
375	C₄	—	536	2	no	—
376	C₄	—	536	2	no	—
377	C₄	#16863333	1	4	yes	—
378	C₄	C₂×#14524023	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×#14524027	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	4	no	—
381	C₂	—	536	4	no	—
382	C₂	C₂×#16863333	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#22570008	1	2	yes	—
384	C₂	#22570150	1	2	yes	—
385	C₂	#22570661	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#22570675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1728	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₆₈	C₂²
hypercenter	#1728	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#23731
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16863438	C₂	semidirect
4. #22562616	C₂	semidirect
5. #22561741	C₂	semidirect
6. #22561736	C₂	semidirect
7. #22561729	C₂	semidirect
8. C₆₇×#1728	C₂	semidirect
14. C₂×#14523977	C₂²	semidirect
15. C₂×#14523975	C₂²	semidirect
22. #16863266	C₂²	semidirect
23. #16863266	C₂²	semidirect
24. #16863262	C₂²	semidirect
29. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
30. #336×C₆₇	C₂²	semidirect
201. #1728	D₆₇	semidirect
202. C₆₇	#23731	semidirect
223. #336	C₂×D₆₇	semidirect
224. #336	C₂×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863438	2
C₂×#16863402	2
C₂×#16863298	2
#22562616	2
#22561741	2
#22561736	2
#22561729	2
C₆₇×#1728	2
#23731	67