Subgroups — #30891709

Order 17152.

1308 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16863672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22569446	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22568903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#22561478	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22561331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#22561122	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#22560132	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₆₇×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#14524076	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
13	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	2	no	—
14	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	2	no	—
15	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14524049	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16863907	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16863672	—	2	8	no	—
20	#16863554	—	2	4	no	—
21	#16863537	—	2	4	no	—
22	#16863467	—	2	2	no	—
23	C₈×C₂²⋊D₆₇	—	2	2	no	—
24	#16863422	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16863406	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#14523961	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#14523961	C₂²	1	4	yes	—
28	#16863362	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16863360	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16863351	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#108×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
33	#407×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
34	#341×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#11761628	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
37	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
41	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
43	#14524076	—	2	8	no	—
44	#14524076	—	4	4	no	—
45	C₂×Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
46	C₂×Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
47	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
48	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
49	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
50	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
51	C₂×Dic₂₆₈	—	2	2	no	—
52	C₂×Dic₂₆₈	—	2	2	no	—
53	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×#11761617	—	2	4	no	—
55	#14524049	—	2	4	no	—
56	C₂×#11761612	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#11761612	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11761611	—	2	1	no	—
59	C₂×C₈×D₆₇	—	2	1	no	—
60	#14524026	—	2	1	no	—
61	#14524022	D₄	1	2	yes	—
62	#14524017	D₄	1	2	yes	—
63	#14524012	—	2	1	no	—
64	C₄×C₂²⋊D₆₇	—	2	2	no	—
65	#14524002	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	Dic₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
67	#14523968	—	2	8	no	—
68	#14523961	—	2	8	no	—
69	#14523961	—	4	4	no	—
70	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	—	2	2	no	—
71	(C₂×D₆₇)⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#14523953	—	2	1	no	—
73	C₈×Dic₆₇	—	2	1	no	—
74	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#108×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
83	#11761628	—	2	2	no	—
84	#11761628	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
86	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
87	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
88	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
89	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
92	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
93	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
94	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
95	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×D₂₆₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	1	no	—
100	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
102	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄×D₆₇	—	2	1	no	—
104	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
105	Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
106	Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
107	Dic₂₆₈	—	4	8	no	—
108	#11761617	—	4	8	no	—
109	#11761612	—	2	2	no	—
110	#11761612	—	2	2	no	—
111	#11761611	—	4	2	no	—
112	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	1	no	—
113	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	1	no	—
114	C₈×D₆₇	—	4	2	no	—
115	C₄⋊Dic₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	Dic₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
118	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
119	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄×Dic₆₇	—	2	1	no	—
121	C₂⁴×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
129	M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
130	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
134	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₆₇	#121	1	2	yes	—
141	C₂³×C₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₆₇	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂²⋊D₆₇	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊D₆₇	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
155	C₂×Dic₆₇	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
157	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
158	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
159	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
160	D₂₆₈	—	2	2	no	—
161	C₄×D₆₇	—	4	1	no	—
162	C₄×D₆₇	—	4	1	no	—
163	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
164	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
165	Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
166	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
167	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
168	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
169	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
170	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
171	C₈×C₆₇	#120	1	2	yes	—
172	C₈×C₆₇	#120	1	2	yes	—
173	C₆₇⋊C₈	—	4	1	no	—
174	C₆₇⋊C₈	—	4	1	no	—
175	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₆₇	#473	1	4	yes	complemented
180	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₆₇	#546	1	2	yes	—
182	C₂×D₆₇	—	4	1	no	—
183	C₂×D₆₇	—	4	2	no	—
184	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
185	C₄×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₆₇	#535	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₆₇	D₄²	1	2	yes	—
188	Dic₆₇	—	4	8	no	—
189	Dic₆₇	—	4	1	no	—
190	Dic₆₇	—	4	2	no	—
191	#24282	—	67	1	no	maximal, Sylow
192	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
193	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
194	C₂×C₆₇	#2408	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₆₇	C₂×#473	1	2	yes	—
196	D₆₇	—	8	1	no	—
197	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
198	C₂×#473	—	67	2	no	—
199	#3004	—	67	2	no	—
200	#2929	—	67	1	no	—
201	#2047	—	67	2	no	—
202	#2020	—	67	2	no	—
203	#1979	—	67	2	no	—
204	#1810	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
205	#1784	—	67	2	no	—
206	C₆₇	#24282	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂³×Q₈	—	67	2	no	—
208	C₂×#137	—	67	4	no	—
209	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
210	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
211	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
212	C₂²×Q₁₆	—	134	2	no	—
213	C₂²×Q₁₆	—	134	2	no	—
214	C₂×#131	—	67	1	no	—
215	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
216	#525	—	67	1	no	—
217	#473	—	134	8	no	—
218	#451	—	134	4	no	—
219	#448	—	134	4	no	—
220	#435	—	134	2	no	—
221	C₈×D₄	—	134	2	no	—
222	C₂×#108	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
223	#424	—	67	1	no	—
224	#419	—	67	4	no	—
225	C₂×#101	—	67	4	no	—
226	C₂×#101	—	67	4	no	—
227	#408	—	67	1	no	—
228	#407	—	67	1	no	—
229	#407	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
230	#405	—	67	1	no	—
231	#341	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
232	C₂×#41	—	67	1	no	—
233	C₂²×Q₈	—	268	4	no	—
234	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
235	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
236	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
237	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
238	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
239	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
240	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
241	#137	—	268	4	no	—
242	#137	—	134	8	no	—
243	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
244	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
245	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
246	C₂×Q₁₆	—	134	16	no	—
247	C₂×Q₁₆	—	134	16	no	—
248	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
249	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	134	2	no	—
251	C₂×Q₁₆	—	134	2	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	134	4	no	—
253	#131	—	134	4	no	—
254	C₂×M₁₆	—	67	1	no	—
255	C₂×M₁₆	—	67	1	no	—
256	C₂×M₁₆	—	134	1	no	—
257	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
258	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₈	—	134	1	no	—
260	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
264	#123	—	134	1	no	—
265	C₂²⋊Q₈	—	67	2	no	—
266	#121	—	67	2	no	—
267	#120	—	134	1	no	—
268	C₄×D₄	—	134	2	no	—
269	#117	—	67	1	no	—
270	#108	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₈	—	134	2	no	—
272	#103	—	134	8	no	—
273	#101	—	268	4	no	—
274	#101	—	134	8	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	134	2	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	134	2	no	—
278	#97	—	134	1	no	—
279	C₄×C₈	—	134	1	no	—
280	C₂⁴	#11761629	1	1	yes	characteristic
281	#41	—	134	2	no	—
282	#41	—	134	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
284	C₂×Q₈	—	268	16	no	—
285	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
286	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
288	C₂×Q₈	—	67	1	no	—
289	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
290	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
292	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
294	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
295	C₂×D₄	—	67	1	no	—
296	C₂×D₄	—	134	2	no	—
297	C₂×D₄	—	134	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
302	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
303	C₂²×C₄	—	134	1	no	—
304	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	#11761629	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
308	Q₁₆	—	268	8	no	—
309	Q₁₆	—	134	16	no	—
310	Q₁₆	—	134	8	no	—
311	Q₁₆	—	134	8	no	—
312	SD₁₆	—	268	8	no	—
313	M₁₆	—	2	4	no	—
314	M₁₆	—	2	4	no	—
315	M₁₆	—	268	2	no	—
316	M₁₆	—	134	2	no	—
317	M₁₆	—	134	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	2	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	2	4	no	—
321	C₂×C₈	—	2	4	no	—
322	C₂×C₈	—	268	2	no	—
323	C₂×C₈	—	134	1	no	—
324	C₂×C₈	—	134	1	no	—
325	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
326	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
329	C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
334	C₄²	—	134	1	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	134	1	no	—
338	C₂³	#14524018	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂×#11761629	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	268	16	no	—
341	Q₈	—	268	4	no	—
342	Q₈	—	268	4	no	—
343	Q₈	—	134	8	no	—
344	Q₈	—	134	2	no	—
345	Q₈	—	134	8	no	—
346	D₄	—	268	2	no	—
347	D₄	—	268	4	no	—
348	D₄	—	134	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	268	16	no	—
354	C₂×C₄	—	268	4	no	—
355	C₂×C₄	—	268	4	no	—
356	C₂×C₄	—	268	1	no	—
357	C₂×C₄	—	268	1	no	—
358	C₂×C₄	—	134	8	no	—
359	C₂×C₄	—	134	2	no	—
360	C₂×C₄	—	134	1	no	—
361	C₂×C₄	#14524018	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	268	1	no	—
369	C₈	—	268	1	no	—
370	C₈	#14524013	1	2	yes	—
371	C₈	#14524013	1	2	yes	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	268	2	no	—
377	C₂²	—	268	1	no	—
378	C₂²	#16863672	1	4	yes	complemented
379	C₂²	C₂×#14524018	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#16864037	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	268	2	no	—
383	C₄	—	268	8	no	—
384	C₄	—	268	1	no	—
385	C₄	C₂×#14524013	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#16863965	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#16864030	1	2	yes	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	536	1	no	—
391	C₂	#22563566	1	1	yes	characteristic
392	C₂	C₂×#16863672	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#14524018
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₆₇×#1810	C₂
socle	C₂²×C₆₇	C₂×#121
prime radical	#16863907	C₂²
hypercenter	#1810	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#24282
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1810

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Dic₂₆₈	C₂	semidirect
2. C₂×#16863672	C₂	semidirect
5. #22561478	C₂	semidirect
6. #22561331	C₂	semidirect
7. #22561122	C₂	semidirect
8. #22560132	C₂	semidirect
9. C₆₇×#1810	C₂	semidirect
53. C₂×Dic₂₆₈	D₄	semidirect
179. C₂²×C₆₇	#473	semidirect
204. #1810	D₆₇	semidirect
206. C₆₇	#24282	semidirect
378. C₂²	#16863672	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂×#16863672	2
#22569446	2
#22568903	2
#22561478	2
#22561331	2
#22561122	2
#22560132	2
C₆₇×#1810	2
#24282	67