Subgroups — #30911202

Order 17152.

1486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16863637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16863554	C₂	1	2	yes	maximal
5	#22563853	C₂	1	2	yes	maximal
6	#22561311	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#22561070	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
11	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
12	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#14524043	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#14524022	C₂²	1	2	yes	—
18	#16863776	—	2	8	no	—
19	#16863637	—	2	4	no	—
20	#16863554	—	2	8	no	—
21	C₂×#14523977	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#14523968	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#14523968	C₂²	1	4	yes	—
24	#16863317	—	2	4	no	—
25	#16863302	C₂²	1	4	yes	—
26	#16863271	—	2	4	no	—
27	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#336×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
40	C₂×Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
41	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
42	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
43	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
45	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
46	C₂×Dic₂₆₈	—	2	4	no	—
47	C₂×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
48	C₂×Dic₂₆₈	—	2	2	no	—
49	C₂×Dic₂₆₈	—	4	4	no	—
50	C₂×Dic₂₆₈	D₄	1	8	yes	—
51	#14524043	—	2	8	no	—
52	#14524043	—	4	4	no	—
53	#14524022	—	2	4	no	—
54	#14524022	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
59	#14523977	—	2	2	no	—
60	#14523968	—	2	8	no	—
61	#14523968	—	2	4	no	—
62	C₆₇⋊#95	—	2	8	no	—
63	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²⋊C₈×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
72	C₄×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
73	#95×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
76	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
77	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
78	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
79	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
80	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
82	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
83	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
84	C₂×Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
85	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
86	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
87	C₂×Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
88	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
90	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
91	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
93	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
94	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
95	Dic₂₆₈	—	2	16	no	—
96	Dic₂₆₈	—	4	16	no	—
97	Dic₂₆₈	—	4	4	no	—
98	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₆₇	—	4	16	no	—
101	Dic₆₇⋊C₄	—	4	4	no	—
102	C₂²⋊Dic₆₇	—	4	4	no	—
103	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
115	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²⋊C₄×C₆₇	Q₁₆	1	8	yes	complemented
120	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₄²×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₆₇	#127	1	2	yes	—
125	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
126	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	8	yes	complemented
135	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
139	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
140	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
141	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
146	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
147	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
148	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
149	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
150	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
151	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
152	Dic₁₃₄	—	4	2	no	—
153	Dic₁₃₄	—	4	2	no	—
154	Dic₁₃₄	—	4	4	no	—
155	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
156	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
157	C₈×C₆₇	#120	1	4	yes	—
158	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₆₇	#494	1	4	yes	complemented
162	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₆₇	D₄²	1	2	yes	—
164	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
165	C₂²×C₆₇	#578	1	2	yes	—
166	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
167	C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
168	C₄×C₆₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₆₇	#535	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₆₇	D₄²	1	2	yes	—
171	Dic₆₇	—	4	8	no	—
172	Dic₆₇	—	8	2	no	—
173	Dic₆₇	—	8	2	no	—
174	#25780	—	67	1	no	maximal, Sylow
175	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
176	C₂×C₆₇	#2433	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₆₇	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₆₇	#3156	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₆₇	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
180	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
181	C₂×#494	—	67	2	no	—
182	C₂×#467	—	67	1	no	—
183	C₂×#451	—	67	2	no	—
184	#2434	—	67	2	no	—
185	#2016	—	67	4	no	—
186	#1969	—	67	2	no	—
187	C₈×C₂²⋊C₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₆₇	#25780	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂³×Q₈	—	67	2	no	—
190	C₂²×Q₁₆	—	67	4	no	—
191	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	67	2	no	—
194	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
195	C₂²×Q₁₆	—	134	4	no	—
196	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊Q₈	—	67	2	no	—
199	#494	—	134	8	no	—
200	#467	—	134	4	no	—
201	#451	—	134	8	no	—
202	C₂×#107	—	67	1	no	—
203	C₂×#103	—	67	4	no	—
204	C₂×#103	—	67	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
207	#395	—	134	4	no	—
208	#391	—	67	4	no	—
209	#385	—	134	4	no	—
210	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
211	#336	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
212	C₂²×Q₈	—	268	4	no	—
213	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
214	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
215	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
216	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
218	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
219	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₁₆	—	268	4	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	67	8	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	134	32	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	134	8	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	134	2	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
231	C₂×Q₁₆	—	134	4	no	—
232	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
234	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
236	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
237	C₄⋊Q₈	—	268	4	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	134	8	no	—
239	C₂²⋊Q₈	—	134	4	no	—
240	C₂²⋊Q₈	—	134	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
247	#107	—	134	2	no	—
248	#103	—	134	8	no	—
249	#103	—	134	4	no	—
250	C₂²⋊C₈	D₂₆₈	1	4	yes	—
251	C₄×C₈	—	2	4	no	—
252	#95	—	134	8	no	—
253	#95	D₂₆₈	1	2	yes	—
254	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	268	16	no	—
257	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
258	C₂×Q₈	—	268	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	67	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
261	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	134	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
277	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
282	Q₁₆	—	268	16	no	—
283	Q₁₆	—	268	4	no	—
284	Q₁₆	—	134	16	no	—
285	Q₁₆	—	134	16	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	268	16	no	—
295	C₄⋊C₄	—	268	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	268	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	Dic₂₆₈	1	8	yes	complemented
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	#14524040	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×Dic₂₆₈	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	268	16	no	—
308	Q₈	—	268	4	no	—
309	Q₈	—	268	4	no	—
310	Q₈	—	268	4	no	—
311	Q₈	—	268	2	no	—
312	Q₈	—	268	2	no	—
313	Q₈	—	134	8	no	—
314	Q₈	—	134	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	268	16	no	—
322	C₂×C₄	—	268	4	no	—
323	C₂×C₄	—	268	4	no	—
324	C₂×C₄	—	268	4	no	—
325	C₂×C₄	—	268	2	no	—
326	C₂×C₄	—	268	2	no	—
327	C₂×C₄	—	268	4	no	—
328	C₂×C₄	—	134	8	no	—
329	C₂×C₄	#14524040	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×Dic₂₆₈	1	8	yes	complemented
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#14524089	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	#14524013	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	#16863776	1	4	yes	complemented
342	C₂²	C₂×#14524040	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	D₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂²×Dic₂₆₈	1	2	yes	—
345	C₂²	#16864213	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	8	no	—
348	C₄	—	268	8	no	—
349	C₄	—	536	2	no	—
350	C₄	—	536	2	no	—
351	C₄	C₂×#14524013	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#16863965	1	1	yes	characteristic
353	C₄	D₄×D₂₆₈	1	2	yes	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	#22563846	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#16863776	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#22570703	1	1	yes	characteristic
358	C₂	D₄×Dic₂₆₈	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
Fitting	C₈×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
hypercenter	C₈×C₂²⋊C₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#25780
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863776	C₂	semidirect
6. #22561311	C₂	semidirect
7. #22561070	C₂	semidirect
119. C₂²⋊C₄×C₆₇	Q₁₆	semidirect
134. C₂×C₄×C₆₇	C₂×Q₁₆	semidirect
161. C₂²×C₆₇	#494	semidirect
188. C₆₇	#25780	semidirect
299. C₂²⋊C₄	Dic₂₆₈	semidirect
330. C₂×C₄	C₂×Dic₂₆₈	semidirect
341. C₂²	#16863776	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂×#16863776	2
C₂×#16863637	2
C₂×#16863554	2
#22563853	2
#22561311	2
#22561070	2
C₈×C₂²⋊C₄×C₆₇	2
#25780	67