Subgroups — #31008507

Order 17152.

1162 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524049	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×M₃₂×D₆₇	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22561821	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22561820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22561819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₆₇×#2112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11761628	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#14524049	—	2	8	no	—
9	C₂×#14524049	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×#14524049	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#11761612	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11761611	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11761611	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₈×D₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₈×D₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#14523983	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#14523982	C₂²	1	4	yes	complemented
18	M₃₂×D₆₇	—	2	8	no	—
19	C₂×C₁₆×D₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²⋊(C₆₇⋊C₁₆)	C₂²	1	4	yes	complemented
21	(C₂×D₆₇)⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×M₃₂×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²⋊C₁₆×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
26	C₂×#11761628	—	2	4	no	—
27	C₂×#11761628	C₈	1	4	yes	—
28	C₂×#11761628	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	C₈	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₂₆₈	C₈	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊D₆₇	C₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₆₇	C₈	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×D₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	#14524049	—	2	16	no	—
36	#14524049	—	2	8	no	—
37	#14524049	—	2	8	no	—
38	C₂×#11761612	—	2	4	no	—
39	C₂×#11761612	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#11761611	—	2	4	no	—
41	C₂×#11761611	—	2	4	no	—
42	C₂×#11761611	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#11761611	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
47	C₂×C₈×D₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₈×D₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₈×D₆₇	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₈×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₈×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
52	#14523983	—	2	4	no	—
53	#14523982	—	2	8	no	—
54	C₂×C₆₇⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₁₆×D₆₇	—	2	8	no	—
56	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	M₃₂×C₆₇	—	2	4	no	—
63	C₂×C₁₆×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×D₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
66	#11761628	—	2	16	no	—
67	#11761628	—	2	8	no	—
68	#11761628	—	2	8	no	—
69	C₂×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
70	C₂×Dic₁₃₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₆₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊D₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
76	C₂×C₂²⋊D₆₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
77	C₂²×Dic₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Dic₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×D₆₇	C₂×C₈	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×D₆₇	C₂×C₈	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×D₆₇	M₁₆	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	#11761612	—	2	8	no	—
88	#11761611	—	2	8	no	—
89	#11761611	—	2	8	no	—
90	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
95	C₈×D₆₇	—	2	4	no	—
96	C₈×D₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
97	C₈×D₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₈×D₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₆₇⋊C₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂⁴×C₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×C₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
109	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₆₇	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₆₇	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
123	C₂²×D₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
124	C₂²×D₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₆₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²⋊D₆₇	—	2	8	no	—
135	C₂²⋊D₆₇	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₆₇	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₆₇	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
138	C₂×Dic₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
139	C₂×Dic₆₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
140	D₂₆₈	—	2	8	no	—
141	C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
142	C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
143	C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
144	C₄×D₆₇	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
145	C₄×D₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₄×D₆₇	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
147	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
148	C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
149	C₈×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₈×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₆₇⋊C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
158	C₂²×C₆₇	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
160	C₂×D₆₇	—	2	2	no	—
161	C₂×D₆₇	—	2	4	no	—
162	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
163	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
164	C₂×D₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
165	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
166	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
167	C₄×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₆₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
169	Dic₆₇	—	2	2	no	—
170	Dic₆₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
171	#33333	—	67	1	no	maximal, Sylow
172	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
173	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
174	C₂×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₆₇	#3407	1	2	yes	—
176	D₆₇	—	2	4	no	—
177	D₆₇	—	4	2	no	—
178	C₂²×#131	—	67	1	no	—
179	C₂²×M₃₂	—	67	2	no	—
180	#2113	—	67	8	no	—
181	#2112	—	67	2	no	—
182	#2112	—	67	1	no	—
183	#2112	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
184	C₆₇	#33333	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
185	C₂²×#41	—	67	1	no	—
186	C₂×#131	—	67	4	no	—
187	C₂×#131	—	67	4	no	—
188	C₂×#131	—	134	8	no	—
189	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
190	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
191	C₂²×M₁₆	—	67	1	no	—
192	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
193	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
194	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
195	C₂×M₃₂	—	67	2	no	—
196	C₂×M₃₂	—	67	4	no	—
197	C₂×M₃₂	—	134	8	no	—
198	C₂×M₃₂	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
199	C₂²×C₁₆	—	67	4	no	—
200	C₂²⋊C₁₆	—	67	4	no	—
201	C₂²⋊C₁₆	—	67	8	no	—
202	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₆₇	1	4	yes	complemented
203	C₂×#41	—	67	4	no	—
204	C₂×#41	—	67	4	no	—
205	C₂×#41	—	134	4	no	—
206	C₂×#41	—	134	4	no	—
207	C₂²×Q₈	—	67	1	no	—
208	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
209	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
210	C₂²×D₄	—	67	1	no	—
211	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
212	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
213	C₂³×C₄	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
214	#131	—	134	16	no	—
215	#131	—	134	8	no	—
216	#131	—	134	8	no	—
217	C₂×M₁₆	—	67	4	no	—
218	C₂×M₁₆	—	67	4	no	—
219	C₂×M₁₆	—	67	4	no	—
220	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
221	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	134	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
225	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
226	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
227	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
229	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	67	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
232	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	2	yes	—
234	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
235	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
236	M₃₂	—	2	4	no	—
237	M₃₂	—	134	8	no	—
238	M₃₂	—	134	4	no	—
239	C₂×C₁₆	—	67	4	no	—
240	C₂×C₁₆	—	134	8	no	—
241	C₂×C₁₆	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
242	C₂⁴	—	67	1	no	—
243	C₂⁴	—	67	1	no	—
244	C₂⁴	C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
245	#41	—	134	8	no	—
246	#41	—	134	16	no	—
247	#41	—	134	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	134	4	no	—
250	C₂×D₄	—	67	4	no	—
251	C₂×D₄	—	67	4	no	—
252	C₂×D₄	—	67	4	no	—
253	C₂×D₄	—	134	4	no	—
254	C₂×D₄	—	134	4	no	—
255	C₂×D₄	—	134	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	67	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	67	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₈×D₆₇	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	134	8	no	—
273	M₁₆	—	134	8	no	—
274	M₁₆	—	134	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	67	4	no	—
279	C₂×C₈	—	67	2	no	—
280	C₂×C₈	—	67	8	no	—
281	C₂×C₈	—	67	4	no	—
282	C₂×C₈	—	67	4	no	—
283	C₂×C₈	—	67	2	no	—
284	C₂×C₈	—	134	2	no	—
285	C₂×C₈	—	134	4	no	—
286	C₂×C₈	—	134	4	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
291	C₁₆	—	2	4	no	—
292	C₁₆	—	134	4	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	268	2	no	—
296	C₂³	—	268	2	no	—
297	C₂³	—	67	4	no	—
298	C₂³	—	67	2	no	—
299	C₂³	—	67	2	no	—
300	C₂³	—	134	2	no	—
301	C₂³	C₂×C₈×D₆₇	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂×C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	134	8	no	—
304	D₄	—	134	8	no	—
305	D₄	—	134	8	no	—
306	D₄	—	134	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	67	4	no	—
312	C₂×C₄	—	67	2	no	—
313	C₂×C₄	—	67	4	no	—
314	C₂×C₄	—	67	8	no	—
315	C₂×C₄	—	67	4	no	—
316	C₂×C₄	—	67	2	no	—
317	C₂×C₄	—	134	2	no	—
318	C₂×C₄	—	134	2	no	—
319	C₂×C₄	—	134	4	no	—
320	C₂×C₄	—	134	2	no	—
321	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₈×D₆₇	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	M₁₆×D₆₇	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	67	4	no	—
328	C₈	—	134	2	no	—
329	C₈	C₂²⋊C₄×D₆₇	1	2	yes	—
330	C₈	C₂×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	268	4	no	—
336	C₂²	—	268	4	no	—
337	C₂²	—	67	4	no	—
338	C₂²	—	134	2	no	—
339	C₂²	—	134	4	no	—
340	C₂²	—	134	4	no	—
341	C₂²	C₂²⋊C₈×D₆₇	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	67	4	no	—
345	C₄	—	134	2	no	—
346	C₄	C₂²⋊C₈×D₆₇	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂×M₁₆×D₆₇	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	—	268	2	no	—
352	C₂	—	134	4	no	—
353	C₂	C₂×C₂²⋊C₈×D₆₇	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#22573311	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₆₇
commutator, socle	C₂²×C₆₇	C₂³×C₈
Fitting	C₆₇×#2112	C₂
prime radical	C₂²×#11761628	C₄
cosocle	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	#2112	D₆₇
hypocenter	C₆₇	#33333
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ #2112

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×M₃₂×D₆₇	C₂	semidirect
3. #22561821	C₂	semidirect
4. #22561820	C₂	semidirect
5. #22561819	C₂	semidirect
6. C₆₇×#2112	C₂	semidirect
17. C₂×#14523982	C₂²	semidirect
19. C₂×C₁₆×D₆₇	C₂²	semidirect
20. C₂²⋊(C₆₇⋊C₁₆)	C₂²	semidirect
21. (C₂×D₆₇)⋊C₁₆	C₂²	semidirect
24. C₂²⋊C₁₆×C₆₇	C₂²	semidirect
183. #2112	D₆₇	semidirect
184. C₆₇	#33333	semidirect
202. C₂²⋊C₁₆	C₂×D₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524049	2
C₂×M₃₂×D₆₇	2
#22561821	2
#22561820	2
#22561819	2
C₆₇×#2112	2
#33333	67