Subgroups — C₂×#22566316 #31023000

Order 17152.

5142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#14524031	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#14524030	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22566316	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#16863304	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16863242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#127×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₂²⋊D₆₇	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×#14524039	—	2	16	no	—
12	C₂×#14524039	C₂²	1	16	yes	complemented
13	C₂×#14524031	—	2	8	no	—
14	C₂×#14524031	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#14524030	—	2	16	no	—
16	C₂×#14524030	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
20	#16863304	C₂²	1	64	yes	complemented
21	#16863242	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×C₆₇⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#127×C₆₇	—	2	8	no	—
26	C₂×#127×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×D₆₇	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	—	2	8	no	—
34	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	32	no	—
36	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	4	32	no	—
37	C₂²×C₂²⋊D₆₇	C₂³	1	32	yes	—
38	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
40	#14524039	—	2	64	no	—
41	#14524031	—	2	32	no	—
42	#14524030	—	2	64	no	—
43	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	32	no	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	C₂³	1	32	yes	—
45	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
46	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	16	yes	complemented
48	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	8	yes	—
49	C₆₇⋊#95	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂⁵×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
52	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
53	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
55	C₂²×D₄×C₆₇	—	4	16	no	—
56	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#127×C₆₇	—	2	32	no	—
61	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂³×D₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂³×D₆₇	—	2	8	no	—
65	C₂³×D₆₇	—	2	16	no	—
66	C₂³×D₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
67	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
68	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
69	C₂×Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
70	C₂×D₂₆₈	—	2	8	no	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	16	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	4	16	no	—
73	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	64	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	64	no	—
75	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	128	no	—
76	C₂²×Dic₆₇	—	2	16	no	—
77	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
79	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	16	yes	—
80	C₂²×Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
81	C₂²×Dic₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
82	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	64	no	—
83	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	32	no	—
84	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
85	C₂⁴×C₆₇	—	2	8	no	—
86	C₂⁴×C₆₇	—	2	8	no	—
87	C₂⁴×C₆₇	—	2	8	no	—
88	C₂⁴×C₆₇	—	2	32	no	—
89	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
90	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×D₄×C₆₇	—	2	32	no	—
92	C₂×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
93	C₂×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
94	C₂×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
95	C₂×D₄×C₆₇	—	4	32	no	—
96	C₂×D₄×C₆₇	—	4	64	no	—
97	C₂×D₄×C₆₇	—	4	32	no	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
105	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₆₇	—	2	32	no	—
109	C₂³×C₆₇	—	4	16	no	—
110	C₂³×C₆₇	—	4	32	no	—
111	C₂³×C₆₇	—	4	32	no	—
112	C₂³×C₆₇	—	4	32	no	—
113	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
116	C₂³×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₆₇	—	2	16	no	—
120	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₆₇	—	4	32	no	—
122	C₂²×D₆₇	—	4	16	no	—
123	D₄×C₆₇	—	4	64	no	—
124	D₄×C₆₇	—	4	32	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	16	yes	—
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²⋊D₆₇	—	4	128	no	—
132	C₂×Dic₆₇	—	2	32	no	—
133	C₂×Dic₆₇	—	2	16	no	—
134	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
137	C₂×Dic₆₇	C₂²×D₄	1	16	yes	—
138	D₂₆₈	—	4	16	no	—
139	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
141	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
142	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
143	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₆₇	—	8	32	no	—
145	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	4	yes	—
146	C₂²×C₆₇	#535	1	16	yes	—
147	C₂²×C₆₇	#535	1	8	yes	—
148	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
151	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
152	C₂×D₆₇	—	4	16	no	—
153	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
154	C₂×D₆₇	—	8	16	no	—
155	C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
156	C₄×C₆₇	C₂×#127	1	8	yes	—
157	Dic₆₇	—	2	16	no	—
158	Dic₆₇	—	4	4	no	—
159	C₂×#2657	—	67	1	no	maximal, Sylow
160	C₂×C₆₇	—	8	8	no	—
161	C₂×C₆₇	#2657	1	8	yes	complemented
162	C₂×C₆₇	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₆₇	C₂×#535	1	4	yes	—
164	C₂×C₆₇	C₂×#535	1	2	yes	—
165	D₆₇	—	8	4	no	—
166	C₂²×#127	—	67	2	no	—
167	C₂²×#127	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
168	C₂²×#124	—	67	1	no	—
169	C₂²×#124	—	67	2	no	—
170	#2657	—	67	16	no	—
171	C₂×#392	—	67	8	no	—
172	C₂×#376	—	67	1	no	—
173	C₆₇	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
175	C₂³×D₄	—	67	8	no	—
176	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
177	C₂³×D₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
178	C₂³×D₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
179	C₂×#127	—	2	8	no	—
180	C₂×#127	—	67	16	no	—
181	C₂×#127	—	134	16	no	—
182	C₂×#127	C₂×D₆₇	1	8	yes	complemented
183	C₂×#124	—	67	16	no	—
184	C₂×#124	—	67	8	no	—
185	C₂×#124	—	134	16	no	—
186	C₂×#124	—	134	8	no	—
187	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	8	no	—
188	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	4	no	—
189	C₂²×C₄²	—	67	2	no	—
190	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	#392	—	67	64	no	—
192	#376	—	67	8	no	—
193	C₂×#95	—	67	4	no	—
194	C₂⁵	—	67	2	no	—
195	C₂⁵	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
196	C₂²×Q₈	—	67	4	no	—
197	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
198	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
199	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×D₄	—	268	32	no	—
205	C₂²×D₄	—	67	32	no	—
206	C₂²×D₄	—	67	4	no	—
207	C₂²×D₄	—	134	32	no	—
208	C₂²×D₄	—	134	8	no	—
209	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
210	C₂²×D₄	C₂²×D₆₇	1	8	yes	—
211	C₂²×D₄	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
212	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
216	#127	—	2	32	no	—
217	#127	—	134	64	no	—
218	#124	—	134	64	no	—
219	#124	—	134	32	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	32	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	16	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	32	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
224	C₂×C₄²	—	67	16	no	—
225	C₂×C₄²	—	67	8	no	—
226	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	complemented
227	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
228	#95	—	67	16	no	—
229	C₂⁴	—	2	8	no	—
230	C₂⁴	—	2	8	no	—
231	C₂⁴	—	2	8	no	—
232	C₂⁴	—	2	32	no	—
233	C₂⁴	—	67	4	no	—
234	C₂⁴	—	134	8	no	—
235	C₂⁴	—	134	4	no	—
236	C₂⁴	—	134	16	no	—
237	C₂⁴	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
238	C₂⁴	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	—	268	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
241	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	2	16	no	—
244	C₂×D₄	—	2	32	no	—
245	C₂×D₄	—	2	16	no	—
246	C₂×D₄	—	4	32	no	—
247	C₂×D₄	—	4	64	no	—
248	C₂×D₄	—	4	32	no	—
249	C₂×D₄	—	268	64	no	—
250	C₂×D₄	—	268	128	no	—
251	C₂×D₄	—	268	16	no	—
252	C₂×D₄	—	134	64	no	—
253	C₂×D₄	—	134	16	no	—
254	C₂×D₄	—	134	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	67	16	no	—
257	C₂²×C₄	—	67	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	67	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
262	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	2	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	134	64	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	134	32	no	—
269	C₄²	—	67	32	no	—
270	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	16	yes	complemented
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	32	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	4	32	no	—
277	C₂³	—	4	32	no	—
278	C₂³	—	4	32	no	—
279	C₂³	—	268	8	no	—
280	C₂³	—	268	32	no	—
281	C₂³	—	268	16	no	—
282	C₂³	—	134	8	no	—
283	C₂³	—	134	4	no	—
284	C₂³	—	134	16	no	—
285	C₂³	C₂×D₄×D₆₇	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	2	yes	—
287	C₂³	#14524088	1	8	yes	—
288	C₂³	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	268	16	no	—
290	D₄	—	4	64	no	—
291	D₄	—	4	32	no	—
292	D₄	—	268	128	no	—
293	D₄	—	268	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	268	8	no	—
297	C₂×C₄	—	67	16	no	—
298	C₂×C₄	—	134	8	no	—
299	C₂×C₄	—	134	4	no	—
300	C₂×C₄	—	134	32	no	—
301	C₂×C₄	—	134	16	no	—
302	C₂×C₄	#14524039	1	16	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	16	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	4	16	no	—
310	C₂²	—	8	32	no	—
311	C₂²	—	268	4	no	—
312	C₂²	—	268	16	no	—
313	C₂²	—	268	8	no	—
314	C₂²	—	536	16	no	—
315	C₂²	C₂×#14524039	1	4	yes	—
316	C₂²	#16863959	1	16	yes	—
317	C₂²	#16863963	1	8	yes	—
318	C₂²	C₂²×D₄×D₆₇	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#14524088	1	4	yes	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	268	4	no	—
323	C₄	—	134	16	no	—
324	C₄	C₂×#14524039	1	8	yes	—
325	C₂	—	8	8	no	—
326	C₂	—	536	4	no	—
327	C₂	#22566316	1	8	yes	direct product factor
328	C₂	C₂²×#14524039	1	1	yes	characteristic
329	C₂	C₂×#16863959	1	4	yes	—
330	C₂	C₂×#16863963	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₆₇
commutator, cosocle	C₂³×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×#127×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#127	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#2657
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#127

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#14524039	C₂	semidirect
2. C₂²×#14524031	C₂	semidirect
3. C₂²×#14524030	C₂	semidirect
4. #22566316	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#16863304	C₂	semidirect
6. C₂×#16863242	C₂	semidirect
7. C₂²×#127×C₆₇	C₂	semidirect
12. C₂×#14524039	C₂²	semidirect
14. C₂×#14524031	C₂²	semidirect
16. C₂×#14524030	C₂²	semidirect
20. #16863304	C₂²	semidirect
21. #16863242	C₂²	semidirect
26. C₂×#127×C₆₇	C₂²	semidirect
47. C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	semidirect
61. C₂×C₄²×C₆₇	D₄	semidirect
84. C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	semidirect
104. C₄²×C₆₇	C₂×D₄	semidirect
161. C₂×C₆₇	#2657	semidirect
167. C₂²×#127	D₆₇	semidirect
173. C₆₇	C₂×#2657	semidirect
182. C₂×#127	C₂×D₆₇	semidirect
226. C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	semidirect
270. C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	semidirect
327. C₂	#22566316	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524039	2
C₂²×#14524031	2
C₂²×#14524030	2
#22566316	2
C₂×#16863304	2
C₂×#16863242	2
C₂²×#127×C₆₇	2
C₂×#2657	67

Subgroups — C2×#22566316 #31023000

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22566316 #31023000