Subgroups — C₂×#22568300 #31062143

Order 17152.

2930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22568300	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×C₆₇⋊#401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16863322	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16863313	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16863306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#16863305	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16863273	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#396×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂³×C₂²⋊D₆₇	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂⁴×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	C₆₇⋊#401	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#16863322	C₂²	1	24	yes	complemented
18	#16863313	C₂²	1	24	yes	complemented
19	#16863306	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#16863305	C₂²	1	24	yes	complemented
21	#16863273	C₂²	1	24	yes	complemented
22	C₂×C₆₇⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×C₆₇⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₆₇⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	3	yes	—
27	#396×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#95×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁴×D₆₇	C₂³	1	3	yes	—
30	C₂²×D₂₆₈	—	4	6	no	—
31	C₂²×D₂₆₈	—	4	6	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	4	6	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	12	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	12	no	—
35	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	4	6	no	—
36	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	4	6	no	—
37	C₂²×C₂²⋊D₆₇	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂³×Dic₆₇	—	4	6	no	—
39	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	3	yes	—
40	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	6	no	—
44	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	6	no	—
45	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	6	no	—
46	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	6	no	—
47	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
51	C₆₇⋊#95	C₂³	1	12	yes	—
52	C₆₇⋊#95	C₂³	1	12	yes	—
53	C₆₇⋊#95	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂⁵×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	6	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	6	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
61	#95×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
63	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
64	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
65	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
66	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
67	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
68	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
69	C₂³×D₆₇	C₂⁴	1	6	yes	—
70	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
71	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	4	48	no	—
74	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	24	no	—
75	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	12	no	—
76	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	12	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	48	no	—
78	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
79	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
80	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
81	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
82	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
83	C₂²×Dic₆₇	—	4	12	no	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	4	16	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	C₂⁴	1	6	yes	—
86	C₂²×Dic₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
88	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	12	no	—
89	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	12	no	—
90	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	12	no	—
91	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	4	12	no	—
92	C₂⁴×C₆₇	—	2	6	no	—
93	C₂⁴×C₆₇	—	2	6	no	—
94	C₂⁴×C₆₇	#41	1	4	yes	—
95	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
96	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
99	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	6	yes	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	6	yes	—
105	C₄⋊C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
107	C₂³×C₆₇	—	2	24	no	—
108	C₂³×C₆₇	—	2	6	no	—
109	C₂³×C₆₇	—	2	6	no	—
110	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
111	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
112	C₂³×C₆₇	C₂×#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₆₇	C₂×#41	1	2	yes	—
114	C₂³×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
115	C₂³×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
116	C₂³×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
118	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
119	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
120	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
121	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
122	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
123	C₂²×D₆₇	—	2	6	no	—
124	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
125	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
126	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
127	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
128	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
129	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
130	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
134	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
139	C₂²⋊D₆₇	—	4	48	no	—
140	C₂×Dic₆₇	—	2	6	no	—
141	C₂×Dic₆₇	—	2	6	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	6	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	2	6	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	2	6	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	4	16	no	—
146	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
147	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₆₇	—	4	4	no	—
149	D₂₆₈	—	4	48	no	—
150	C₂²×C₆₇	—	2	12	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
152	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₆₇	—	4	6	no	—
154	C₂²×C₆₇	#538	1	12	yes	—
155	C₂²×C₆₇	#560	1	12	yes	—
156	C₂²×C₆₇	#560	1	4	yes	—
157	C₂²×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
159	C₂²×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
160	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
161	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
162	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
163	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
164	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
165	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
166	C₂×D₆₇	—	4	6	no	—
167	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
168	C₄×C₆₇	—	4	6	no	—
169	C₄×C₆₇	—	4	6	no	—
170	Dic₆₇	—	4	6	no	—
171	Dic₆₇	—	4	2	no	—
172	Dic₆₇	—	4	2	no	—
173	C₂×#2825	—	67	1	no	maximal, Sylow
174	C₂×C₆₇	—	4	4	no	—
175	C₂×C₆₇	#2825	1	8	yes	complemented
176	C₂×C₆₇	C₂×#538	1	3	yes	—
177	C₂×C₆₇	C₂×#560	1	3	yes	—
178	C₂×C₆₇	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
179	D₆₇	—	8	6	no	—
180	#2825	—	67	16	no	—
181	C₂×#401	—	67	1	no	—
182	C₂×#397	—	67	3	no	—
183	C₂×#396	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
184	C₂×#394	—	67	3	no	—
185	C₂×#392	—	67	1	no	—
186	C₂×#392	—	67	3	no	—
187	C₂×#386	—	67	3	no	—
188	C₆₇	C₂×#2825	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂³×D₄	—	67	3	no	—
190	C₂³×D₄	—	67	3	no	—
191	C₂⁴×C₄	—	67	1	no	—
192	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	3	yes	—
193	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	3	no	—
194	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	3	no	—
195	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	3	no	—
196	C₂²×C₂²⋊C₄	—	67	3	no	—
197	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₆₇	1	3	yes	—
198	#401	—	67	8	no	—
199	#397	—	67	24	no	—
200	#396	C₂×D₆₇	1	8	yes	complemented
201	#394	—	67	24	no	—
202	#392	—	67	24	no	—
203	#392	—	67	8	no	—
204	#386	—	67	24	no	—
205	C₂×#95	—	67	3	no	—
206	C₂×#95	—	67	3	no	—
207	C₂×#95	—	67	3	no	—
208	C₂×#95	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂⁵	—	67	3	no	—
210	C₂⁵	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×D₄	—	268	6	no	—
212	C₂²×D₄	—	268	6	no	—
213	C₂²×D₄	—	268	6	no	—
214	C₂²×D₄	—	268	6	no	—
215	C₂²×D₄	—	268	6	no	—
216	C₂²×D₄	—	67	12	no	—
217	C₂²×D₄	—	67	12	no	—
218	C₂²×D₄	—	134	12	no	—
219	C₂³×C₄	—	268	6	no	—
220	C₂³×C₄	—	67	4	no	—
221	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
222	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
223	C₂³×C₄	—	67	3	no	—
224	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	3	yes	—
225	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	3	yes	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	6	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	6	no	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	6	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	268	6	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	12	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	12	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	12	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	67	12	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
238	#95	—	67	12	no	—
239	#95	—	67	12	no	—
240	#95	—	67	12	no	—
241	#95	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
242	C₂⁴	—	2	6	no	—
243	C₂⁴	—	2	6	no	—
244	C₂⁴	—	67	6	no	—
245	C₂⁴	—	134	6	no	—
246	C₂⁴	—	134	6	no	—
247	C₂⁴	—	134	6	no	—
248	C₂⁴	—	134	6	no	—
249	C₂⁴	—	134	6	no	—
250	C₂⁴	—	134	6	no	—
251	C₂⁴	—	134	6	no	—
252	C₂⁴	#11761629	1	4	yes	—
253	C₂⁴	C₂³×D₆₇	1	2	yes	—
254	C₂⁴	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
255	C₂×D₄	—	268	12	no	—
256	C₂×D₄	—	268	12	no	—
257	C₂×D₄	—	268	12	no	—
258	C₂×D₄	—	268	48	no	—
259	C₂×D₄	—	268	48	no	—
260	C₂×D₄	—	268	12	no	—
261	C₂×D₄	—	268	12	no	—
262	C₂×D₄	—	134	24	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	268	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	268	12	no	—
271	C₂²×C₄	—	67	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	67	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
278	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	6	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	6	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	268	12	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	268	12	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	268	12	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	268	12	no	—
287	C₂³	—	2	6	no	—
288	C₂³	—	2	6	no	—
289	C₂³	—	2	24	no	—
290	C₂³	—	4	12	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	268	12	no	—
293	C₂³	—	268	12	no	—
294	C₂³	—	268	12	no	—
295	C₂³	—	268	12	no	—
296	C₂³	—	268	12	no	—
297	C₂³	—	268	12	no	—
298	C₂³	—	268	12	no	—
299	C₂³	—	134	6	no	—
300	C₂³	—	134	6	no	—
301	C₂³	—	134	6	no	—
302	C₂³	—	134	6	no	—
303	C₂³	—	134	6	no	—
304	C₂³	—	134	6	no	—
305	C₂³	—	134	6	no	—
306	C₂³	C₂×#11761629	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂×#11761629	1	2	yes	—
308	C₂³	#14524088	1	6	yes	—
309	C₂³	#14524089	1	6	yes	—
310	C₂³	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
311	D₄	—	268	48	no	—
312	D₄	—	268	48	no	—
313	C₂×C₄	—	2	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	6	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	2	6	no	—
317	C₂×C₄	—	2	6	no	—
318	C₂×C₄	—	2	6	no	—
319	C₂×C₄	—	4	12	no	—
320	C₂×C₄	—	4	12	no	—
321	C₂×C₄	—	268	16	no	—
322	C₂×C₄	—	268	4	no	—
323	C₂×C₄	—	268	4	no	—
324	C₂×C₄	—	268	12	no	—
325	C₂×C₄	—	134	6	no	—
326	C₂×C₄	—	134	6	no	—
327	C₂×C₄	—	134	6	no	—
328	C₂×C₄	—	134	6	no	—
329	C₂×C₄	—	134	6	no	—
330	C₂²	—	2	12	no	—
331	C₂²	—	4	16	no	—
332	C₂²	—	4	6	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	268	6	no	—
335	C₂²	—	268	6	no	—
336	C₂²	—	268	6	no	—
337	C₂²	—	268	6	no	—
338	C₂²	—	268	6	no	—
339	C₂²	—	268	6	no	—
340	C₂²	—	268	6	no	—
341	C₂²	—	536	24	no	—
342	C₂²	#16863986	1	12	yes	—
343	C₂²	#16864134	1	12	yes	—
344	C₂²	#16864137	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂²×#11761629	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#14524088	1	3	yes	—
347	C₂²	C₂×#14524089	1	3	yes	—
348	C₄	—	4	6	no	—
349	C₄	—	4	6	no	—
350	C₄	—	268	6	no	—
351	C₄	—	268	2	no	—
352	C₄	—	268	2	no	—
353	C₂	—	4	4	no	—
354	C₂	—	536	6	no	—
355	C₂	#22568300	1	8	yes	direct product factor
356	C₂	C₂×#16863986	1	3	yes	—
357	C₂	C₂×#16864134	1	3	yes	—
358	C₂	C₂×#16864137	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₆₇
commutator, cosocle	C₂³×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂×#396×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂⁴
hypercenter	C₂×#396	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#2825
LCS	G ▷ C₂³×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#396

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22568300	C₂	direct (N × H)
2. C₂×C₆₇⋊#401	C₂	semidirect
3. C₂×#16863322	C₂	semidirect
4. C₂×#16863313	C₂	semidirect
5. C₂×#16863306	C₂	semidirect
6. C₂×#16863305	C₂	semidirect
7. C₂×#16863273	C₂	semidirect
8. C₂×#396×C₆₇	C₂	semidirect
16. C₆₇⋊#401	C₂²	semidirect
17. #16863322	C₂²	semidirect
18. #16863313	C₂²	semidirect
19. #16863306	C₂²	semidirect
20. #16863305	C₂²	semidirect
21. #16863273	C₂²	semidirect
27. #396×C₆₇	C₂²	semidirect
175. C₂×C₆₇	#2825	semidirect
183. C₂×#396	D₆₇	semidirect
188. C₆₇	C₂×#2825	semidirect
200. #396	C₂×D₆₇	semidirect
355. C₂	#22568300	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22568300	2
C₂×C₆₇⋊#401	2
C₂×#16863322	2
C₂×#16863313	2
C₂×#16863306	2
C₂×#16863305	2
C₂×#16863273	2
C₂×#396×C₆₇	2
C₂×#2825	67

Subgroups — C2×#22568300 #31062143

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22568300 #31062143