Subgroups — C₂²×#16863512 #31720121

Order 17152.

2750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524065	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#14524051	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16863512	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#14523969	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₈×Dic₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#108×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11761628	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#14524065	C₄	1	12	yes	complemented
9	C₂×#14524065	C₂²	1	12	yes	—
10	C₂²×Dic₂₆₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
11	C₂²×#11761617	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂²×D₅₃₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×#14524051	—	2	12	no	—
14	C₂×#14524051	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂²×#11761611	—	2	2	no	—
16	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₈×D₆₇	—	2	2	no	—
18	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16863512	C₂²	1	64	yes	direct product factor
20	C₂×#14523969	C₂²	1	24	yes	complemented
21	C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#108×C₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#11761628	—	2	6	no	—
26	C₂×#11761628	—	2	6	no	—
27	C₂×#11761628	C₂×C₄	1	12	yes	—
28	C₂×#11761628	C₂³	1	12	yes	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₆₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	2	no	—
32	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
33	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	2	no	—
34	#14524065	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
35	#14524065	C₂³	1	16	yes	—
36	C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
37	C₂×#11761617	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
38	C₂×D₅₃₆	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
39	#14524051	—	2	48	no	—
40	#14524051	C₂³	1	32	yes	complemented
41	C₂×#11761611	—	2	24	no	—
42	C₂²×C₆₇⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₆₇⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₆₇⋊C₈	D₄	1	6	yes	—
45	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂×C₈×D₆₇	—	2	24	no	—
47	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	3	no	—
48	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
49	#14523969	C₂³	1	32	yes	complemented
50	C₈×Dic₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
51	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	6	no	—
53	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈×C₆₇	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
59	#108×C₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
60	C₂³×D₆₇	—	2	2	no	—
61	#11761628	—	2	24	no	—
62	#11761628	—	2	12	no	—
63	#11761628	—	2	12	no	—
64	#11761628	C₂²×C₄	1	24	yes	—
65	#11761628	C₂⁴	1	8	yes	—
66	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
67	C₂×Dic₁₃₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
68	C₂×D₂₆₈	—	2	6	no	—
69	C₂×D₂₆₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
70	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	12	no	—
71	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	12	no	—
72	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
73	C₂²×Dic₆₇	—	2	2	no	—
74	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄×D₆₇	—	2	12	no	—
76	C₂×C₄×D₆₇	—	2	12	no	—
77	Dic₂₆₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
78	#11761617	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
79	D₅₃₆	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
80	#11761611	—	2	32	no	—
81	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
82	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
83	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
84	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₈×D₆₇	—	2	32	no	—
86	C₄×Dic₆₇	—	2	6	no	—
87	C₄×Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂⁴×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	3	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	3	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
95	M₁₆×C₆₇	—	2	12	no	—
96	M₁₆×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂×C₈×C₆₇	—	2	12	no	—
98	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	6	yes	—
99	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	6	yes	—
100	C₂×C₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	12	yes	—
101	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	3	yes	—
104	C₂³×C₆₇	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₆₇	C₂×#41	1	3	yes	—
106	C₂²×D₆₇	—	2	12	no	—
107	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	3	yes	—
109	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	3	yes	—
110	C₂×C₄×C₆₇	C₄×D₄	1	6	yes	—
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	3	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	3	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	3	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
117	C₂²⋊D₆₇	—	2	24	no	—
118	C₂²⋊D₆₇	—	2	8	no	—
119	C₂×Dic₆₇	—	2	24	no	—
120	C₂×Dic₆₇	—	2	12	no	—
121	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
122	D₂₆₈	—	2	12	no	—
123	D₂₆₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
124	C₄×D₆₇	—	2	24	no	—
125	C₄×D₆₇	—	2	8	no	—
126	Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
127	Dic₁₃₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
128	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
129	C₈×C₆₇	C₂³×C₄	1	4	yes	—
130	C₈×C₆₇	C₂³×C₄	1	4	yes	—
131	C₆₇⋊C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
132	C₆₇⋊C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₆₇	—	2	6	no	—
134	C₂²×C₆₇	—	2	6	no	—
135	C₂²×C₆₇	#443	1	4	yes	complemented
136	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
137	C₂²×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
138	C₂²×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₆₇	—	2	8	no	—
140	C₂×D₆₇	—	4	24	no	—
141	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
142	C₄×C₆₇	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
143	C₄×C₆₇	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
145	Dic₆₇	—	2	8	no	—
146	Dic₆₇	—	2	8	no	—
147	C₂²×#443	—	67	1	no	maximal, Sylow
148	C₂×C₆₇	—	2	1	no	—
149	C₂×C₆₇	—	2	3	no	—
150	C₂×C₆₇	C₂×#443	1	6	yes	complemented
151	C₂×C₆₇	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
152	D₆₇	—	4	8	no	—
153	C₂²×#135	—	67	1	no	—
154	C₂²×#131	—	67	2	no	—
155	C₂×#443	—	67	24	no	—
156	C₂²×#108	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
157	C₂²×#104	—	67	2	no	—
158	C₂²×C₄×C₈	—	67	1	no	—
159	C₆₇	C₂²×#443	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
160	C₂²×#41	—	67	2	no	—
161	C₂×#135	—	67	12	no	—
162	C₂×#135	—	67	12	no	—
163	C₂²×Q₁₆	—	67	1	no	—
164	C₂²×SD₁₆	—	67	2	no	—
165	C₂²×D₈	—	67	1	no	—
166	C₂×#131	—	67	24	no	—
167	C₂×#131	—	134	12	no	—
168	C₂²×M₁₆	—	134	2	no	—
169	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
170	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
171	C₂³×C₈	—	134	2	no	—
172	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
174	#443	—	67	64	no	—
175	C₂×#108	C₂×D₆₇	1	12	yes	complemented
176	C₂×#104	—	67	24	no	—
177	C₂×C₄×C₈	—	67	12	no	—
178	C₂×#41	—	67	12	no	—
179	C₂×#41	—	67	12	no	—
180	C₂×#41	—	134	6	no	—
181	C₂×#41	—	134	6	no	—
182	C₂²×Q₈	—	67	2	no	—
183	C₂²×D₄	—	67	2	no	—
184	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
185	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
187	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	#135	—	67	48	no	—
189	#135	—	67	16	no	—
190	C₂×Q₁₆	—	67	12	no	—
191	C₂×SD₁₆	—	67	24	no	—
192	C₂×D₈	—	67	12	no	—
193	#131	—	67	32	no	—
194	#131	—	134	48	no	—
195	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
196	C₂×M₁₆	—	134	24	no	—
197	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
198	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₈	—	67	6	no	—
200	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
201	C₂²×C₈	—	67	1	no	—
202	C₂²×C₈	—	67	6	no	—
203	C₂²×C₈	—	134	24	no	—
204	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₈	C₄×D₆₇	1	6	yes	—
207	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
208	C₂×C₄²	—	67	6	no	—
209	C₂×C₄²	—	134	3	no	—
210	#108	C₂²×D₆₇	1	16	yes	complemented
211	#104	—	67	32	no	—
212	C₄×C₈	—	67	16	no	—
213	C₂⁴	—	134	2	no	—
214	C₂⁴	#11761629	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	67	24	no	—
216	#41	—	67	8	no	—
217	#41	—	134	24	no	—
218	#41	—	134	12	no	—
219	#41	—	134	12	no	—
220	C₂×Q₈	—	67	12	no	—
221	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
222	C₂×D₄	—	67	12	no	—
223	C₂×D₄	—	134	12	no	—
224	C₂×D₄	—	134	12	no	—
225	C₂×D₄	—	134	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	134	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
229	C₂²×C₄	—	134	12	no	—
230	C₂²×C₄	—	134	12	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₆₇	1	3	yes	—
233	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#11761629	1	3	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
237	Q₁₆	—	67	16	no	—
238	SD₁₆	—	67	32	no	—
239	D₈	—	67	16	no	—
240	M₁₆	—	2	12	no	—
241	M₁₆	—	134	32	no	—
242	M₁₆	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	—	2	12	no	—
244	C₂×C₈	—	67	6	no	—
245	C₂×C₈	—	67	6	no	—
246	C₂×C₈	—	67	12	no	—
247	C₂×C₈	—	67	4	no	—
248	C₂×C₈	—	134	32	no	—
249	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	6	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	6	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₄×D₆₇	1	12	yes	—
252	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
253	C₄²	—	67	4	no	—
254	C₄²	—	134	6	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	268	8	no	—
257	C₂³	—	134	12	no	—
258	C₂³	#14524005	1	3	yes	—
259	C₂³	#14524005	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×#11761629	1	3	yes	—
261	Q₈	—	67	8	no	—
262	Q₈	—	134	12	no	—
263	D₄	—	67	8	no	—
264	D₄	—	134	24	no	—
265	D₄	—	134	8	no	—
266	D₄	—	134	12	no	—
267	C₂×C₄	—	134	24	no	—
268	C₂×C₄	—	134	12	no	—
269	C₂×C₄	—	134	4	no	—
270	C₂×C₄	—	134	24	no	—
271	C₂×C₄	—	134	8	no	—
272	C₂×C₄	#14524005	1	3	yes	—
273	C₂×C₄	#14524005	1	3	yes	—
274	C₂×C₄	#14524005	1	6	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	3	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₆₇	1	3	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	3	yes	—
280	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
281	C₈	—	2	8	no	—
282	C₈	—	67	4	no	—
283	C₈	—	67	4	no	—
284	C₈	C₂²×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
285	C₈	C₂²×C₄×D₆₇	1	4	yes	—
286	C₂²	—	2	6	no	—
287	C₂²	—	2	6	no	—
288	C₂²	—	268	24	no	—
289	C₂²	—	134	8	no	—
290	C₂²	#16863512	1	4	yes	direct product factor
291	C₂²	C₂×#14524005	1	3	yes	—
292	C₂²	C₂×#14524005	1	3	yes	—
293	C₂²	C₂²×#11761629	1	1	yes	characteristic
294	C₄	—	134	8	no	—
295	C₄	—	134	8	no	—
296	C₄	C₂×#14524005	1	3	yes	—
297	C₄	C₂×#14524005	1	3	yes	—
298	C₄	C₂³×C₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
299	C₄	C₂²×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
300	C₂	—	2	1	no	—
301	C₂	—	2	3	no	—
302	C₂	—	268	8	no	—
303	C₂	C₂×#16863512	1	6	yes	direct product factor
304	C₂	C₂²×#14524005	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	D₄×D₆₇
commutator	C₄×C₆₇	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×#108×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₄×D₄
prime radical	C₂²×#14524065	C₂
cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
hypercenter	C₂²×#108	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#443
LCS	G ▷ C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#14524051	C₂	semidirect
3. C₂×#16863512	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#14523969	C₂	semidirect
5. C₂²×C₈×Dic₆₇	C₂	semidirect
6. C₂²×#108×C₆₇	C₂	semidirect
8. C₂×#14524065	C₄	semidirect
10. C₂²×Dic₂₆₈	C₄	semidirect
11. C₂²×#11761617	C₄	semidirect
12. C₂²×D₅₃₆	C₄	semidirect
14. C₂×#14524051	C₂²	semidirect
19. #16863512	C₂²	direct (N × H)
20. C₂×#14523969	C₂²	semidirect
21. C₂×C₈×Dic₆₇	C₂²	semidirect
24. C₂×#108×C₆₇	C₂²	semidirect
34. #14524065	C₂×C₄	semidirect
36. C₂×Dic₂₆₈	C₂×C₄	semidirect
37. C₂×#11761617	C₂×C₄	semidirect
38. C₂×D₅₃₆	C₂×C₄	semidirect
40. #14524051	C₂³	semidirect
49. #14523969	C₂³	semidirect
50. C₈×Dic₆₇	C₂³	semidirect
59. #108×C₆₇	C₂³	semidirect
77. Dic₂₆₈	C₂²×C₄	semidirect
78. #11761617	C₂²×C₄	semidirect
79. D₅₃₆	C₂²×C₄	semidirect
135. C₂²×C₆₇	#443	semidirect
150. C₂×C₆₇	C₂×#443	semidirect
156. C₂²×#108	D₆₇	semidirect
159. C₆₇	C₂²×#443	semidirect
175. C₂×#108	C₂×D₆₇	semidirect
210. #108	C₂²×D₆₇	semidirect
290. C₂²	#16863512	direct (N × H)
303. C₂	C₂×#16863512	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524065	2
C₂²×#14524051	2
C₂×#16863512	2
C₂²×#14523969	2
C₂²×C₈×Dic₆₇	2
C₂²×#108×C₆₇	2
C₂²×#443	67

Subgroups — C22×#16863512 #31720121

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863512 #31720121