Subgroups — C₂×#22569276 #31720603

Order 17152.

2274 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22569276	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16863474	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×D₄×C₆₇⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16863449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16863363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#532×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11761612	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
9	#16863474	C₂²	1	32	yes	complemented
10	D₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	32	yes	complemented
11	#16863449	C₂²	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
14	#16863363	C₂²	1	32	yes	complemented
15	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
19	#532×C₆₇	C₄	1	8	yes	—
20	#532×C₆₇	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127×C₆₇	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#124×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×#121×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#11761612	—	4	8	no	—
28	C₂×#11761612	C₂³	1	16	yes	—
29	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	4	8	no	—
30	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
33	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	8	yes	—
34	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	8	yes	—
35	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	16	yes	—
36	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	32	yes	—
37	C₄×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
38	C₂×#41×C₆₇	—	4	4	no	—
39	C₂×#41×C₆₇	—	4	4	no	—
40	C₂×#41×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×#41×C₆₇	C₂³	1	8	yes	—
42	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
49	C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	#127×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	#124×C₆₇	C₂×C₄	1	16	yes	—
52	#121×C₆₇	C₂×C₄	1	32	yes	—
53	C₄×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	C₄×D₄×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
62	#11761612	—	4	16	no	—
63	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₆₇⋊C₈	—	4	16	no	—
66	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
67	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
68	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	#41×C₆₇	—	4	16	no	—
71	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
72	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
73	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
74	C₂×Q₈×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
75	C₂×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
76	C₂×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
77	C₂×D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
78	C₂×D₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	16	yes	—
79	C₂×D₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	16	yes	—
80	C₂×D₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	8	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	16	yes	—
97	C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	32	yes	—
98	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₄²×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₄²×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₆₇	—	2	16	no	—
106	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	8	yes	—
107	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	Q₈×C₆₇	—	4	8	no	—
110	D₄×C₆₇	—	2	32	no	—
111	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
112	D₄×C₆₇	—	4	16	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₆₇	#131	1	8	yes	—
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	8	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₆₇	C₂³×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
132	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
133	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₆₇	—	2	16	no	—
138	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
140	C₂²×C₆₇	#518	1	2	yes	—
141	C₂²×C₆₇	C₂×#131	1	4	yes	—
142	C₂²×C₆₇	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
144	C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
145	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
146	C₄×C₆₇	#518	1	2	yes	—
147	C₄×C₆₇	C₂×#131	1	8	yes	—
148	C₄×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
150	C₂×#2979	—	67	1	no	maximal, Sylow
151	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
152	C₂×C₆₇	—	4	8	no	—
153	C₂×C₆₇	#2979	1	4	yes	complemented
154	C₂×C₆₇	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₆₇	C₂²×#131	1	2	yes	—
156	C₂×#532	D₆₇	1	1	yes	characteristic
157	#2979	—	67	16	no	—
158	C₂×#436	—	67	4	no	—
159	C₂×C₈×D₄	—	67	4	no	—
160	C₂×#431	—	67	2	no	—
161	C₂×#408	—	67	4	no	—
162	C₆₇	C₂×#2979	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
163	C₂²×#41	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
164	C₂²×M₁₆	—	67	4	no	—
165	C₂³×C₈	—	67	4	no	—
166	#532	Dic₆₇	1	8	yes	—
167	#532	C₂×D₆₇	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
169	C₂×#127	Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
170	C₂×#124	Dic₆₇	1	2	yes	—
171	C₂×#121	Dic₆₇	1	4	yes	—
172	C₂×C₄×D₄	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
174	#436	—	67	32	no	—
175	C₈×D₄	—	67	32	no	—
176	#431	—	67	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₈	—	67	2	no	—
179	#408	—	67	32	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	8	no	—
182	C₂×C₄×C₈	—	67	4	no	—
183	C₂×#41	—	4	4	no	—
184	C₂×#41	—	4	4	no	—
185	C₂×#41	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
186	C₂×#41	C₂²×D₆₇	1	8	yes	—
187	C₂²×Q₈	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
188	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
189	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
190	C₂²×D₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
191	C₂³×C₄	C₂×Dic₆₇	1	2	yes	—
192	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
193	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
194	C₂×M₁₆	—	268	8	no	—
195	C₂×M₁₆	—	67	16	no	—
196	C₂²×C₈	—	268	8	no	—
197	C₂²×C₈	—	67	16	no	—
198	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
199	C₂²×C₈	—	67	4	no	—
200	C₄⋊Q₈	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
201	#127	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
202	#124	C₂×Dic₆₇	1	16	yes	—
203	#121	C₂×Dic₆₇	1	32	yes	—
204	C₄×D₄	C₂×Dic₆₇	1	16	yes	—
205	C₄×D₄	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₆₇	1	8	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×Dic₆₇	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
213	C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
214	C₄⋊C₈	—	67	8	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	67	32	no	—
217	C₄×C₈	—	67	16	no	—
218	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
219	C₂⁴	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
220	#41	—	4	16	no	—
221	#41	—	4	8	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	16	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	C₂²×Dic₆₇	1	16	yes	—
229	C₂×D₄	C₂²×Dic₆₇	1	16	yes	—
230	C₂×D₄	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Dic₆₇	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	268	16	no	—
247	C₂×C₈	—	268	16	no	—
248	C₂×C₈	—	67	8	no	—
249	C₂×C₈	—	67	8	no	—
250	C₂×C₈	—	134	8	no	—
251	C₂×C₈	—	134	8	no	—
252	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₆₇	1	16	yes	—
253	C₂²⋊C₄	C₂²×Dic₆₇	1	32	yes	—
254	C₄²	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂²×Dic₆₇	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	16	no	—
262	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	8	yes	—
263	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	4	8	no	—
266	D₄	—	2	32	no	—
267	D₄	—	4	8	no	—
268	D₄	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	16	no	—
274	C₂×C₄	—	2	16	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	#14524050	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	8	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂³×Dic₆₇	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
288	C₈	—	134	8	no	—
289	C₈	—	134	8	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	16	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	16	no	—
296	C₂²	#16863871	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#14524050	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂⁴×Dic₆₇	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	8	no	—
302	C₄	#16863871	1	2	yes	—
303	C₄	C₂×#14524050	1	8	yes	—
304	C₄	C₂×#14524088	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂×#14524088	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	4	2	no	—
307	C₂	—	4	8	no	—
308	C₂	#22569276	1	4	yes	direct product factor
309	C₂	C₂×#16863871	1	1	yes	characteristic
310	C₂	C₂²×#14524050	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇
commutator	C₂²×C₆₇	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting, prime radical	C₂×#532×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄
cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
hypercenter	C₂×#532	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#2979
LCS	G ▷ C₂²×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22569276	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16863474	C₂	semidirect
3. C₂×D₄×C₆₇⋊C₈	C₂	semidirect
4. C₂×#16863449	C₂	semidirect
5. C₂×#16863363	C₂	semidirect
9. #16863474	C₂²	semidirect
10. D₄×C₆₇⋊C₈	C₂²	semidirect
11. #16863449	C₂²	semidirect
14. #16863363	C₂²	semidirect
153. C₂×C₆₇	#2979	semidirect
162. C₆₇	C₂×#2979	semidirect
308. C₂	#22569276	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22569276	2
C₂×#16863474	2
C₂×D₄×C₆₇⋊C₈	2
C₂×#16863449	2
C₂×#16863363	2
C₂×#532×C₆₇	2
C₂×#2979	67

Subgroups — C2×#22569276 #31720603

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22569276 #31720603