Subgroups — C₂²×#16863617 #31722638

Order 17152.

2918 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×#11761616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#14524030	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#14524008	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#16863617	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×Dic₆₇⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#14523966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#102×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
12	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	12	yes	complemented
13	C₂²×#11761616	—	2	8	no	—
14	C₂²×#11761616	C₂²	1	12	yes	—
15	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#14524030	—	2	6	no	—
17	C₂×#14524030	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂×#14524008	—	2	6	no	—
19	C₂×#14524008	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×Dic₆₇	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16863617	C₂²	1	64	yes	direct product factor
26	C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	1	12	yes	complemented
27	C₂×#14523966	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#102×C₆₇	C₂²	1	12	yes	—
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
34	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₃₄	D₄	1	8	yes	—
38	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
40	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
41	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
42	C₂³×Dic₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×Dic₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×Dic₂₆₈	—	2	48	no	—
45	C₂×Dic₂₆₈	C₂³	1	16	yes	complemented
46	C₂×#11761616	—	2	48	no	—
47	C₂×#11761616	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
50	#14524030	—	2	24	no	—
51	#14524030	C₂³	1	16	yes	—
52	#14524008	—	2	24	no	—
53	#14524008	C₂³	1	16	yes	complemented
54	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	12	no	—
55	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
56	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
57	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	12	no	—
58	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	6	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
60	Dic₆₇⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
61	#14523966	C₂³	1	16	yes	complemented
62	C₂⁵×C₆₇	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	3	no	—
65	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
68	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	3	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
73	#102×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
76	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
77	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
78	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
79	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
80	C₂×Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
81	C₂×Dic₁₃₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
82	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
83	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
88	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
89	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
91	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
92	Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
93	#11761616	—	2	32	no	—
94	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	12	no	—
95	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
96	Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
97	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
98	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
99	C₄×Dic₆₇	—	2	16	no	—
100	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
101	C₄×Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂⁴×C₆₇	—	2	6	no	—
103	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
104	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
105	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
106	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
108	C₂×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
109	C₂×D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
110	C₂×D₄×C₆₇	—	4	12	no	—
111	C₂×D₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
113	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
115	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
118	C₂×C₈×C₆₇	—	2	12	no	—
119	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
121	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
122	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
124	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
125	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
126	C₂³×C₆₇	—	8	16	no	—
127	C₂³×C₆₇	#121	1	4	yes	—
128	C₂³×C₆₇	#135	1	4	yes	—
129	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
130	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
131	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
132	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
133	D₄×C₆₇	—	4	12	no	—
134	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	12	yes	—
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	6	yes	—
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	6	yes	—
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Dic₆₇	—	2	24	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	12	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	2	12	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
147	C₂×Dic₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×Dic₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
149	Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
150	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
151	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
152	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
153	Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
154	Dic₁₃₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
155	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
156	C₆₇⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₆₇	—	8	24	no	—
161	C₂²×C₆₇	#464	1	16	yes	complemented
162	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	6	yes	—
163	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	6	yes	—
164	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	6	yes	—
165	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
167	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	6	yes	—
168	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
170	Dic₆₇	—	2	8	no	—
171	Dic₆₇	—	2	4	no	—
172	Dic₆₇	—	2	4	no	—
173	Dic₆₇	—	4	4	no	—
174	C₂²×#464	—	67	1	no	maximal, Sylow
175	C₂×C₆₇	—	8	4	no	—
176	C₂×C₆₇	C₂×#464	1	12	yes	complemented
177	C₂×C₆₇	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₆₇	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₆₇	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
180	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
181	C₂³×SD₁₆	—	67	1	no	—
182	C₂²×#124	—	67	1	no	—
183	C₂²×C₄×Q₈	—	67	1	no	—
184	C₂×#464	—	67	24	no	—
185	C₂²×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
186	C₂²×#103	—	67	1	no	—
187	C₂²×#102	D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₆₇	C₂²×#464	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
190	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
191	C₂³×D₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×Q₁₆	—	67	12	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
194	C₂²×SD₁₆	—	67	12	no	—
195	C₂²×SD₁₆	—	134	8	no	—
196	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
197	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂×#124	—	67	12	no	—
199	C₂×#124	—	134	6	no	—
200	C₂×C₄×Q₈	—	67	12	no	—
201	C₂×C₄×Q₈	—	134	6	no	—
202	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
203	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
205	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
206	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
207	C₂²×C₄²	—	134	1	no	—
208	#464	—	67	64	no	—
209	C₂×C₄⋊C₈	—	67	12	no	—
210	C₂×#103	—	67	12	no	—
211	C₂×#102	C₂×D₆₇	1	12	yes	—
212	C₂⁵	—	2	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	67	8	no	—
214	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
215	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
216	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
218	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
219	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
220	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
221	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
223	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×D₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
225	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
227	C₂³×C₄	—	67	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
229	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
230	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₁₆	—	67	16	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	134	48	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	67	16	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	134	48	no	—
235	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₈	—	67	6	no	—
237	C₂²×C₈	—	134	4	no	—
238	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
239	#124	—	67	16	no	—
240	#124	—	134	24	no	—
241	C₄×Q₈	—	67	16	no	—
242	C₄×Q₈	—	134	24	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
248	C₂×C₄²	—	67	6	no	—
249	C₂×C₄²	—	67	6	no	—
250	C₂×C₄²	—	134	12	no	—
251	C₄⋊C₈	—	67	16	no	—
252	#103	—	67	16	no	—
253	#102	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
254	C₂⁴	—	2	6	no	—
255	C₂⁴	—	4	4	no	—
256	C₂⁴	—	4	4	no	—
257	C₂⁴	—	4	4	no	—
258	C₂⁴	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
259	C₂×Q₈	—	268	12	no	—
260	C₂×Q₈	—	67	24	no	—
261	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
264	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
265	C₂×Q₈	—	134	24	no	—
266	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
267	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
268	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
269	C₂×D₄	—	2	12	no	—
270	C₂×D₄	—	2	6	no	—
271	C₂×D₄	—	2	12	no	—
272	C₂×D₄	—	4	12	no	—
273	C₂×D₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	67	6	no	—
278	C₂²×C₄	—	67	6	no	—
279	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
280	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	3	yes	—
285	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
288	Q₁₆	—	134	32	no	—
289	SD₁₆	—	134	32	no	—
290	C₂×C₈	—	2	12	no	—
291	C₂×C₈	—	67	4	no	—
292	C₂×C₈	—	134	12	no	—
293	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
295	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
296	C₄⋊C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
297	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
299	C₄²	—	67	12	no	—
300	C₄²	—	67	4	no	—
301	C₄²	—	134	16	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	4	12	no	—
304	C₂³	—	4	12	no	—
305	C₂³	—	4	12	no	—
306	C₂³	—	8	16	no	—
307	C₂³	#14524016	1	4	yes	—
308	C₂³	#14524062	1	4	yes	—
309	C₂³	#14524072	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
311	Q₈	—	268	12	no	—
312	Q₈	—	67	8	no	—
313	Q₈	—	134	4	no	—
314	Q₈	—	134	4	no	—
315	Q₈	—	134	24	no	—
316	Q₈	—	134	4	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	4	12	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	12	no	—
322	C₂×C₄	—	268	12	no	—
323	C₂×C₄	—	67	4	no	—
324	C₂×C₄	—	67	4	no	—
325	C₂×C₄	—	134	4	no	—
326	C₂×C₄	—	134	24	no	—
327	C₂×C₄	—	134	12	no	—
328	C₂×C₄	—	134	12	no	—
329	C₂×C₄	—	134	4	no	—
330	C₂×C₄	#14524016	1	12	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	6	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	6	yes	—
334	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	134	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	8	24	no	—
341	C₂²	#16863617	1	16	yes	direct product factor
342	C₂²	C₂×#14524016	1	6	yes	—
343	C₂²	C₂×#14524062	1	6	yes	—
344	C₂²	C₂×#14524072	1	6	yes	—
345	C₂²	C₂²×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	268	4	no	—
348	C₄	—	134	4	no	—
349	C₄	—	134	4	no	—
350	C₄	—	134	8	no	—
351	C₄	C₂×#14524016	1	6	yes	—
352	C₄	C₂²×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₂²×#11761628	1	1	yes	characteristic
354	C₂	—	8	4	no	—
355	C₂	C₂×#16863617	1	12	yes	direct product factor
356	C₂	C₂²×#14524016	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²×#14524062	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂²×#14524072	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₄×D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×#102×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²
hypercenter	C₂²×#102	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#464
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#102

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Dic₂₆₈	C₂	semidirect
4. C₂²×#14524008	C₂	semidirect
5. C₂×#16863617	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×Dic₆₇⋊C₈	C₂	semidirect
7. C₂²×#14523966	C₂	semidirect
12. C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	semidirect
19. C₂×#14524008	C₂²	semidirect
25. #16863617	C₂²	direct (N × H)
26. C₂×Dic₆₇⋊C₈	C₂²	semidirect
27. C₂×#14523966	C₂²	semidirect
45. C₂×Dic₂₆₈	C₂³	semidirect
53. #14524008	C₂³	semidirect
60. Dic₆₇⋊C₈	C₂³	semidirect
61. #14523966	C₂³	semidirect
161. C₂²×C₆₇	#464	semidirect
176. C₂×C₆₇	C₂×#464	semidirect
188. C₆₇	C₂²×#464	semidirect
341. C₂²	#16863617	direct (N × H)
355. C₂	C₂×#16863617	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂³×#11761616	2
C₂²×#14524030	2
C₂²×#14524008	2
C₂×#16863617	2
C₂²×Dic₆₇⋊C₈	2
C₂²×#14523966	2
C₂²×#102×C₆₇	2
C₂²×#464	67

Subgroups — C22×#16863617 #31722638

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863617 #31722638