Subgroups — C₂²×#16863666 #31723212

Order 17152.

2886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂³×D₅₃₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16863666	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#14523979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#14523959	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#14524068	—	2	12	no	—
9	C₂×#14524068	C₂²	1	24	yes	complemented
10	C₂²×#11761615	—	2	2	no	—
11	C₂²×D₅₃₆	—	2	1	no	—
12	C₂²×D₅₃₆	—	2	1	no	—
13	C₂²×D₅₃₆	—	2	6	no	—
14	C₂²×D₅₃₆	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂²×#11761613	—	2	2	no	—
16	C₂²×#11761612	C₂²	1	2	yes	—
17	#16863666	C₂²	1	64	yes	direct product factor
18	C₂×#14523979	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂×#14523959	C₂²	1	24	yes	complemented
20	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131×C₆₇	—	2	6	no	—
22	C₂×#131×C₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	—	2	1	no	—
24	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
26	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×D₆₇	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
30	C₂²×D₂₆₈	—	2	6	no	—
31	C₂²×D₂₆₈	—	2	6	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	2	6	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	12	yes	—
34	#14524068	—	2	48	no	—
35	#14524068	C₂³	1	32	yes	complemented
36	C₂×#11761615	—	2	24	no	—
37	C₂×D₅₃₆	—	2	12	no	—
38	C₂×D₅₃₆	—	2	12	no	—
39	C₂×D₅₃₆	—	2	24	no	—
40	C₂×D₅₃₆	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂×#11761613	—	2	24	no	—
42	C₂×#11761612	—	2	6	no	—
43	C₂×#11761612	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	2	no	—
45	#14523979	C₂³	1	16	yes	complemented
46	#14523959	C₂³	1	32	yes	complemented
47	C₂×#41×C₆₇	—	2	3	no	—
48	C₂×#41×C₆₇	—	2	3	no	—
49	C₂×#41×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
50	C₂×#41×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂²×Q₈×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#131×C₆₇	—	2	24	no	—
57	#131×C₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
58	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	3	no	—
59	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	12	no	—
60	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	12	no	—
63	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
66	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂³×D₆₇	—	2	12	no	—
68	C₂³×D₆₇	—	4	6	no	—
69	C₂³×D₆₇	—	4	2	no	—
70	C₂³×D₆₇	—	8	8	no	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
74	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
75	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
76	C₂×D₂₆₈	—	4	6	no	—
77	C₂×D₂₆₈	—	4	6	no	—
78	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
79	C₂×D₂₆₈	C₂⁴	1	8	yes	—
80	#11761615	—	2	32	no	—
81	D₅₃₆	—	2	16	no	—
82	D₅₃₆	—	2	16	no	—
83	#11761613	—	2	32	no	—
84	#11761612	—	2	12	no	—
85	#11761612	C₂⁴	1	8	yes	—
86	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	12	no	—
87	C₂⁴×C₆₇	—	2	1	no	—
88	C₂⁴×C₆₇	#41	1	1	yes	characteristic
89	#41×C₆₇	—	2	12	no	—
90	#41×C₆₇	—	2	6	no	—
91	#41×C₆₇	—	2	6	no	—
92	#41×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
93	#41×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	3	no	—
95	C₂×Q₈×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
96	C₂×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
97	C₂×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
98	C₂×D₄×C₆₇	—	2	3	no	—
99	C₂×D₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
100	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
107	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	3	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
109	M₁₆×C₆₇	—	2	6	no	—
110	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
111	M₁₆×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₂×C₈×C₆₇	—	2	6	no	—
113	C₂×C₈×C₆₇	—	2	16	no	—
114	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
115	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
116	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
117	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₆₇	—	2	6	no	—
120	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₆₇	#121	1	3	yes	—
122	C₂³×C₆₇	#121	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₆₇	C₂×#41	1	3	yes	—
124	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
126	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
127	C₂²×D₆₇	—	8	24	no	—
128	C₂²×D₆₇	—	8	8	no	—
129	C₂²×D₆₇	—	8	24	no	—
130	Q₈×C₆₇	—	2	6	no	—
131	Q₈×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
132	D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
133	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
134	D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
135	D₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	3	yes	—
140	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	3	yes	—
141	C₂×C₄×C₆₇	#121	1	6	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
143	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
144	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
145	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
146	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	3	yes	—
147	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
148	D₂₆₈	—	2	8	no	—
149	D₂₆₈	—	2	8	no	—
150	D₂₆₈	—	4	12	no	—
151	D₂₆₈	—	4	12	no	—
152	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
153	C₈×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
154	C₈×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
155	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	2	6	no	—
157	C₂²×C₆₇	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	4	12	no	—
160	C₂²×C₆₇	#472	1	4	yes	complemented
161	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	3	yes	—
162	C₂²×C₆₇	C₂×#121	1	3	yes	—
163	C₂²×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
164	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
165	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
166	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
167	C₂×D₆₇	—	8	8	no	—
168	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
169	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	3	yes	—
170	C₄×C₆₇	C₂×#121	1	3	yes	—
171	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×#472	—	67	1	no	maximal, Sylow
174	C₂×C₆₇	—	2	3	no	—
175	C₂×C₆₇	—	2	1	no	—
176	C₂×C₆₇	—	4	4	no	—
177	C₂×C₆₇	C₂×#472	1	6	yes	complemented
178	C₂×C₆₇	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
179	D₆₇	—	8	8	no	—
180	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	67	2	no	—
181	C₂³×D₈	—	67	1	no	—
182	C₂²×#131	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
183	C₂×#472	—	67	24	no	—
184	C₂²×#108	—	67	1	no	—
185	C₂²×#100	—	67	2	no	—
186	C₆₇	C₂²×#472	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂²×#41	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×D₄	—	67	2	no	—
189	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	67	24	no	—
190	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	134	12	no	—
191	C₂²×SD₁₆	—	134	2	no	—
192	C₂²×D₈	—	67	12	no	—
193	C₂²×D₈	—	134	2	no	—
194	C₂²×D₈	—	134	1	no	—
195	C₂²×D₈	—	134	1	no	—
196	C₂²×D₈	—	134	6	no	—
197	C₂×#131	—	2	6	no	—
198	C₂×#131	C₂×D₆₇	1	12	yes	complemented
199	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
200	C₂²×M₁₆	—	67	2	no	—
201	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
202	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
204	#472	—	67	64	no	—
205	C₂×#108	—	67	12	no	—
206	C₂×#100	—	67	24	no	—
207	C₂⁵	—	134	2	no	—
208	C₂×#41	—	2	3	no	—
209	C₂×#41	—	2	3	no	—
210	C₂×#41	D₂₆₈	1	6	yes	—
211	C₂×#41	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
212	C₂²×Q₈	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×D₄	—	67	12	no	—
215	C₂²×D₄	—	134	6	no	—
216	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
217	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	134	6	no	—
219	C₂²×D₄	—	134	6	no	—
220	C₂²×D₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
223	AGL(1,ℤ/8)	—	67	32	no	—
224	AGL(1,ℤ/8)	—	134	48	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	134	24	no	—
226	C₂×D₈	—	67	16	no	—
227	C₂×D₈	—	134	24	no	—
228	C₂×D₈	—	134	12	no	—
229	C₂×D₈	—	134	12	no	—
230	C₂×D₈	—	134	24	no	—
231	#131	—	2	24	no	—
232	#131	C₂²×D₆₇	1	16	yes	complemented
233	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
234	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
235	C₂×M₁₆	—	67	12	no	—
236	C₂×M₁₆	—	134	6	no	—
237	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
238	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
240	C₂²×C₈	—	134	2	no	—
241	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
245	#108	—	67	16	no	—
246	#100	—	67	32	no	—
247	C₂⁴	—	2	1	no	—
248	C₂⁴	—	268	6	no	—
249	C₂⁴	—	268	2	no	—
250	C₂⁴	—	536	8	no	—
251	C₂⁴	—	134	12	no	—
252	C₂⁴	#11761628	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	2	12	no	—
254	#41	—	2	6	no	—
255	#41	—	2	6	no	—
256	#41	C₂×D₂₆₈	1	12	yes	—
257	#41	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
258	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
259	C₂×Q₈	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
260	C₂×D₄	—	2	6	no	—
261	C₂×D₄	—	2	6	no	—
262	C₂×D₄	—	2	3	no	—
263	C₂×D₄	—	268	6	no	—
264	C₂×D₄	—	268	6	no	—
265	C₂×D₄	—	268	12	no	—
266	C₂×D₄	—	67	8	no	—
267	C₂×D₄	—	134	12	no	—
268	C₂×D₄	—	134	12	no	—
269	C₂×D₄	—	134	12	no	—
270	C₂×D₄	—	134	12	no	—
271	C₂×D₄	—	134	12	no	—
272	C₂×D₄	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	3	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	#11761628	1	3	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
282	SD₁₆	—	134	32	no	—
283	D₈	—	134	32	no	—
284	D₈	—	134	16	no	—
285	D₈	—	134	16	no	—
286	M₁₆	—	2	6	no	—
287	M₁₆	—	2	16	no	—
288	M₁₆	—	67	8	no	—
289	M₁₆	—	134	12	no	—
290	M₁₆	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	—	2	6	no	—
292	C₂×C₈	—	2	16	no	—
293	C₂×C₈	—	134	12	no	—
294	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	12	yes	—
297	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	6	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	268	12	no	—
302	C₂³	—	268	12	no	—
303	C₂³	—	536	24	no	—
304	C₂³	—	536	24	no	—
305	C₂³	—	536	8	no	—
306	C₂³	—	134	8	no	—
307	C₂³	#14524017	1	3	yes	—
308	C₂³	#14524017	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×#11761628	1	3	yes	—
310	Q₈	—	2	6	no	—
311	Q₈	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
312	D₄	—	2	12	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	6	no	—
315	D₄	—	268	12	no	—
316	D₄	—	268	12	no	—
317	D₄	—	134	8	no	—
318	D₄	—	134	8	no	—
319	D₄	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	—	2	6	no	—
321	C₂×C₄	—	2	12	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	#14524017	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	#14524017	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	#14524017	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	3	yes	—
331	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	134	8	no	—
334	C₈	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
335	C₈	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	6	no	—
337	C₂²	—	2	6	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	4	12	no	—
340	C₂²	—	268	8	no	—
341	C₂²	—	536	8	no	—
342	C₂²	—	536	24	no	—
343	C₂²	—	536	24	no	—
344	C₂²	#16863666	1	4	yes	direct product factor
345	C₂²	C₂×#14524017	1	3	yes	—
346	C₂²	C₂×#14524017	1	3	yes	—
347	C₂²	C₂²×#11761628	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	C₂×#14524017	1	3	yes	—
350	C₄	C₂×#14524017	1	3	yes	—
351	C₄	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂³×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	3	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	4	4	no	—
356	C₂	—	536	8	no	—
357	C₂	C₂×#16863666	1	6	yes	direct product factor
358	C₂	C₂²×#14524017	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#14524017
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×#131×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	#121
hypercenter	C₂²×#131	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#472
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#131

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#14524068	C₂	semidirect
2. C₂³×D₅₃₆	C₂	semidirect
3. C₂×#16863666	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#14523979	C₂	semidirect
5. C₂²×#14523959	C₂	semidirect
6. C₂²×#131×C₆₇	C₂	semidirect
9. C₂×#14524068	C₂²	semidirect
14. C₂²×D₅₃₆	C₂²	semidirect
17. #16863666	C₂²	direct (N × H)
18. C₂×#14523979	C₂²	semidirect
19. C₂×#14523959	C₂²	semidirect
22. C₂×#131×C₆₇	C₂²	semidirect
35. #14524068	C₂³	semidirect
40. C₂×D₅₃₆	C₂³	semidirect
45. #14523979	C₂³	semidirect
46. #14523959	C₂³	semidirect
57. #131×C₆₇	C₂³	semidirect
160. C₂²×C₆₇	#472	semidirect
177. C₂×C₆₇	C₂×#472	semidirect
182. C₂²×#131	D₆₇	semidirect
186. C₆₇	C₂²×#472	semidirect
198. C₂×#131	C₂×D₆₇	semidirect
232. #131	C₂²×D₆₇	semidirect
344. C₂²	#16863666	direct (N × H)
357. C₂	C₂×#16863666	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524068	2
C₂³×D₅₃₆	2
C₂×#16863666	2
C₂²×#14523979	2
C₂²×#14523959	2
C₂²×#131×C₆₇	2
C₂²×#472	67

Subgroups — C22×#16863666 #31723212

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863666 #31723212