Subgroups — C₂²×#16863686 #31723294

Order 17152.

2790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 282 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524043	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16863686	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#14523974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#14523964	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×C₄×D₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	—	2	1	no	—
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#14524043	—	2	6	no	—
10	C₂×#14524043	C₂²	1	12	yes	complemented
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
12	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
13	#16863686	C₂²	1	64	yes	direct product factor
14	C₂×#14523974	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂×#14523964	C₂²	1	24	yes	—
17	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
20	C₂×C₄×D₄×C₆₇	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
26	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
29	#14524043	—	2	24	no	—
30	#14524043	C₂³	1	16	yes	complemented
31	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
32	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	12	yes	—
34	#14523974	C₂³	1	32	yes	complemented
35	C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	16	yes	complemented
36	#14523964	C₂³	1	32	yes	—
37	C₂⁵×C₆₇	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	3	no	—
39	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₄×C₆₇	Q₈	1	8	yes	complemented
41	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
44	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
45	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×D₄×C₆₇	—	2	24	no	—
49	C₄×D₄×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	3	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
54	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂×Dic₁₃₄	—	2	16	no	—
56	C₂×Dic₁₃₄	—	4	48	no	—
57	C₂²×Dic₆₇	—	2	12	no	—
58	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
59	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	24	no	—
60	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
61	C₄⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
62	C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
63	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
64	C₂⁴×C₆₇	—	2	8	no	—
65	C₂⁴×C₆₇	—	2	6	no	—
66	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
68	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×D₄×C₆₇	—	2	24	no	—
70	C₂×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
71	C₂×D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
72	C₂×D₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
73	C₂×D₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	48	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	SD₁₆	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×Q₈	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
86	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
87	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
89	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
90	C₄²×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
91	C₂³×C₆₇	—	2	24	no	—
92	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
94	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	4	32	no	—
96	C₂³×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
98	C₂³×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
99	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
100	D₄×C₆₇	—	2	24	no	—
101	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
102	D₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	8	yes	complemented
103	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	4	32	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
108	C₂×C₄×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
109	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
113	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	6	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
116	C₂×Dic₆₇	—	4	24	no	—
117	Dic₁₃₄	—	4	32	no	—
118	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₆₇	—	4	48	no	—
123	C₂²×C₆₇	#476	1	16	yes	complemented
124	C₂²×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
125	C₂²×C₆₇	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
126	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
127	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
129	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
130	C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
131	C₄×C₆₇	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
132	C₄×C₆₇	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
134	Dic₆₇	—	4	8	no	—
135	C₂²×#476	—	67	1	no	maximal, Sylow
136	C₂×C₆₇	—	4	8	no	—
137	C₂×C₆₇	C₂×#476	1	12	yes	complemented
138	C₂×C₆₇	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₆₇	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₆₇	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄⋊Q₈	—	67	1	no	—
142	C₂²×C₄×D₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic
143	C₂×#476	—	67	24	no	—
144	C₂²×#106	—	67	2	no	—
145	C₂²×C₄⋊C₈	—	67	1	no	—
146	C₂²×#102	—	67	2	no	—
147	C₆₇	C₂²×#476	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
148	C₂³×Q₈	—	134	1	no	—
149	C₂³×D₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
152	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	12	no	—
153	C₂×C₄⋊Q₈	—	134	6	no	—
154	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
155	C₂×C₄×D₄	C₂×D₆₇	1	12	yes	—
156	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
157	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
158	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
161	#476	—	67	64	no	—
162	C₂×#106	—	67	24	no	—
163	C₂×C₄⋊C₈	—	67	12	no	—
164	C₂×#102	—	67	24	no	—
165	C₂⁵	—	2	1	no	—
166	C₂²×Q₈	—	268	8	no	—
167	C₂²×Q₈	—	134	12	no	—
168	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
169	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×D₄	Dic₁₃₄	1	8	yes	complemented
171	C₂²×D₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
172	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
174	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
176	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
177	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	—	67	12	no	—
180	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	67	16	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	134	24	no	—
183	C₄×D₄	—	2	24	no	—
184	C₄×D₄	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	67	12	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
193	#106	—	67	32	no	—
194	C₄⋊C₈	—	67	16	no	—
195	#102	—	67	32	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	6	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	—	268	48	no	—
202	C₂×Q₈	—	134	16	no	—
203	C₂×D₄	—	2	24	no	—
204	C₂×D₄	—	2	6	no	—
205	C₂×D₄	—	2	12	no	—
206	C₂×D₄	C₂×Dic₁₃₄	1	24	yes	complemented
207	C₂×D₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
213	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	134	12	no	—
215	C₂²×C₄	#11761616	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₃₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#11761628	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
222	C₂×C₈	—	67	8	no	—
223	C₂×C₈	—	134	24	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
225	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
227	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
228	C₄⋊C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	12	yes	—
231	C₄²	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
232	C₂³	—	2	24	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	4	12	no	—
235	C₂³	—	4	12	no	—
236	C₂³	—	4	32	no	—
237	C₂³	#14524022	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂×#11761616	1	4	yes	—
239	C₂³	#14524068	1	4	yes	—
240	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
241	Q₈	—	268	32	no	—
242	D₄	—	2	24	no	—
243	D₄	—	2	4	no	—
244	D₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	8	yes	complemented
245	C₂×C₄	—	2	12	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	12	no	—
248	C₂×C₄	—	4	32	no	—
249	C₂×C₄	—	268	24	no	—
250	C₂×C₄	—	134	8	no	—
251	C₂×C₄	#14524022	1	12	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×#11761616	1	24	yes	—
253	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₃₄	1	6	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	6	yes	—
258	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
259	C₈	—	134	8	no	—
260	C₂²	—	2	8	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	—	4	48	no	—
264	C₂²	#16863686	1	16	yes	direct product factor
265	C₂²	C₂×#14524022	1	6	yes	—
266	C₂²	C₂²×#11761616	1	6	yes	—
267	C₂²	C₂×#14524068	1	6	yes	—
268	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
269	C₄	—	2	4	no	—
270	C₄	—	4	4	no	—
271	C₄	—	268	8	no	—
272	C₄	C₂×#14524022	1	6	yes	—
273	C₄	C₂²×#11761616	1	8	yes	—
274	C₄	C₂³×Dic₁₃₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄	C₂²×#11761628	1	1	yes	characteristic
276	C₂	—	4	8	no	—
277	C₂	C₂×#16863686	1	12	yes	direct product factor
278	C₂	C₂²×#14524022	1	1	yes	characteristic
279	C₂	C₂³×#11761616	1	1	yes	characteristic
280	C₂	C₂²×#14524068	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×C₄×D₄×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²
hypercenter	C₂²×C₄×D₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#476
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#14524043	C₂	semidirect
2. C₂×#16863686	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#14523974	C₂	semidirect
4. C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	semidirect
10. C₂×#14524043	C₂²	semidirect
13. #16863686	C₂²	direct (N × H)
14. C₂×#14523974	C₂²	semidirect
15. C₂×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	semidirect
30. #14524043	C₂³	semidirect
34. #14523974	C₂³	semidirect
35. C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	semidirect
40. C₂²×D₄×C₆₇	Q₈	semidirect
72. C₂×D₄×C₆₇	C₂×Q₈	semidirect
102. D₄×C₆₇	C₂²×Q₈	semidirect
123. C₂²×C₆₇	#476	semidirect
137. C₂×C₆₇	C₂×#476	semidirect
147. C₆₇	C₂²×#476	semidirect
170. C₂²×D₄	Dic₁₃₄	semidirect
206. C₂×D₄	C₂×Dic₁₃₄	semidirect
244. D₄	C₂²×Dic₁₃₄	semidirect
264. C₂²	#16863686	direct (N × H)
277. C₂	C₂×#16863686	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524043	2
C₂×#16863686	2
C₂²×#14523974	2
C₂²×C₄⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₂²×#14523964	2
C₂²×C₄×D₄×C₆₇	2
C₂²×#476	67

Subgroups — C22×#16863686 #31723294

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863686 #31723294